Use Regra da Cadeia para determinar
c partial zpartial theta|r=2, theta=pi / 6 se z=x y e^x / y ; x=r cos theta, y=r sen theta

Passo 1

O enunciado pede para calcular a derivada parcial partial zpartial theta mantendo r fixo, usando a regra da cadeia, onde

Então o conteúdo é aplicação da regra da cadeia para funções de duas variáveis com dependência em coordenadas polares.

Passo 2

Vamos achar as derivadas parciais de z(x,y) = x,y,e^x/y em relação a x e y:
Para partial z/partial x, use produto e cadeia:
partial zpartial x = partialpartial xl(xyr),e^x/y + xy,partialpartial xl(e^x/yr) = y,e^x/y + xy,e^x/ycdot1y = e^x/y(x + y)
Para partial z/partial y, de forma análoga:
partial zpartial y = x,e^x/y + xy,e^x/ycdotl(-xy^2r) = e^x/yl(x - x^2yr) = x,e^x/yl(1 - xyr)

Passo 3

Agora derivamos x e y em relação a theta, mantendo r constante:
partial xpartial theta = partialpartial theta(rcostheta) = -rsintheta,
partial ypartial theta = partialpartial theta(rsintheta) = rcostheta

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia:
partial zpartial theta = partial zpartial x,partial xpartial theta + partial zpartial y,partial ypartial theta
Substituindo as derivadas que já temos:
partial zpartial theta = e^x/y(x+y)(-rsintheta) + x,e^x/yl(1 - xyr)(rcostheta)

Passo 5

Agora basta avaliar em r=2, theta=pi/6. Primeiro calculamos:
-(x+y)sintheta = -raiz3+12,
xl(1-tfracxyr)costheta = (raiz3-3)tfracraiz32 = 3-3raiz32
Então dentro do colchete temos
2-4raiz32 = 1-2raiz3
r e^raiz3=2e^raiz3
Somando:
E multiplicando por , obtemos o resultado.

Passo 6

O valor final da derivada é
partial zpartial theta|r=2,,theta=pi/6 = 2e^raiz3l(1 - 2raiz3r)

Resposta

2e^{\sqrt3}\bigl(1 - 2\sqrt3\bigr)

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