(2 pts) Calcule, usando a teoria de curvas parametrizadas, a área da região limitada a direita pela curva
, e a esquerda pela reta
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região que fica entre a curva parametrizada
e a reta vertical
O conteúdo aqui é Cálculo de Área via Teorema de Green, usando a fórmula
com orientação positiva (região à esquerda do contorno).
Passo 2
Precisamos fechar a fronteira de
unindo a parte da elipse onde
com o segmento vertical
. Primeiro encontramos os pontos de interseção elipse–reta:
Nesses
temos
, ou seja, os pontos
Passo 3
A parte da elipse que fica `a direita da reta corresponde ao arco com
, i.e.\
que vai de
a
. Orientamos esse arco de
para
, e depois o segmento vertical de
de volta a
, de modo que
fique sempre `a esquerda.
Passo 4
Calculamos a contribuição da elipse:
Usando
,
Passo 5
Agora a contribuição do segmento vertical
, de
até
:
Passo 6
Somando as duas integrais,
Como pelo Teorema de Green a área é exatamente esse valor, temos: