(2 pts) Calcule, usando a teoria de curvas parametrizadas, a área da região limitada a direita pela curva
gamma:l x=3 cos (t) y=2 sin (t)
t in[0,2 pi], e a esquerda pela reta x=3 raiz32.

Passo 1

O enunciado pede a área da região que fica entre a curva parametrizada
gamma: x=3cos t, y=2sin t, tin[0,2pi],
e a reta vertical
x = 3raiz32
O conteúdo aqui é Cálculo de Área via Teorema de Green, usando a fórmula
Área = ointpartial R x,dy Á
com orientação positiva (região à esquerda do contorno).

Passo 2

Precisamos fechar a fronteira de R unindo a parte da elipse onde x>=3raiz32 com o segmento vertical x=tfrac3raiz32. Primeiro encontramos os pontos de interseção elipse–reta:
3cos t = 3raiz32 Longrightarrow cos t = raiz32 Longrightarrow t=pi6,;11pi6
Nesses t temos y=2sin t=pm1, ou seja, os pontos
P1=l(tfrac3raiz32,1r), P2=l(tfrac3raiz32,-1r)

Passo 3

A parte da elipse que fica `a direita da reta corresponde ao arco com cos t >= raiz3/2, i.e.\
t in l[-tfracpi6,,tfracpi6r],
que vai de P2 a P1. Orientamos esse arco de P2 para P1, e depois o segmento vertical de P1 de volta a P2, de modo que R fique sempre `a esquerda.

Passo 4

Calculamos a contribuição da elipse:
integralgammarm arco x,dy =integral-pi/6^pi/6 l(3cos tr),(2cos t),dt =6integral-pi/6^pi/6cos^2 t,dt
Usando cos^2 t=(1+cos2t)/2,
6integral-pi/6^pi/61+cos2t2,dt =3l[t+tfrac12sin2tr]-pi/6^pi/6 =pi+3raiz32

Passo 5

Agora a contribuição do segmento vertical x=a=tfrac3raiz32, de y=1 até y=-1:
integralrm reta x,dy =3raiz32integral1^-1dy =3raiz32(-2) =-3raiz3

Passo 6

Somando as duas integrais,
ointpartial R x,dy =l(pi+tfrac3raiz32r)+l(-3raiz3r) =pi-3raiz32
Como pelo Teorema de Green a área é exatamente esse valor, temos:

Resposta

boxedÁrea = pi - 3raiz32 Á

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