(2 pts) Parametrize a curva dada pela equação
x^23+y^23=1
em seguida calcule o comprimento da mesma.

Passo 1

O enunciado pede para parametrizar a curva
x^23 + y^23 = 1
e em seguida calcular o comprimento dessa curva.
O conteúdo que vamos usar é parametrização de curvas planas e a fórmula de comprimento de arco
L = integrala^b raizl(dxdtr)^2 + l(dydtr)^2,dt

Passo 2

Reconhecemos que essa curva é a chamada astroid. Uma parametrização clássica é
x = cos^3 t, y = sin^3 t,
porque
(cos^3 t)^tfrac23 = cos^2 t, (sin^3 t)^tfrac23 = sin^2 t
e assim
cos^2 t + sin^2 t = 1
Tomamos tin[0,2pi] para percorrer o contorno inteiro.

Passo 3

Calculamos as derivadas em relação a t:
dxdt = -3,cos^2 t,sin t, dydt = 3,sin^2 t,cos t

Passo 4

A velocidade escalar é
raizl(tfracdxdtr)^2 + l(tfracdydtr)^2 = raiz9cos^4 t,sin^2 t + 9sin^4 t,cos^2 t = 3,|cos t,sin t|
Como cos t,sin t = tfrac12 sin(2t), fica
raiz(dx/dt)^2+(dy/dt)^2 = 32,l|sin(2t)r|

Passo 5

Aplicando a fórmula do comprimento de arco:
L = integral0^2pi 32,l|sin(2t)r|,dt
Sabendo que
integral0^2pi |sin(2t)|,dt = 4,
temos
L = 32times 4 = 6

Resposta

A parametrização é
x=cos^3 t, y=sin^3 t, tin[0,2pi],
e o comprimento total da curva é
L = 6

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