(2 pts) Parametrize a curva dada pela equação
em seguida calcule o comprimento da mesma.
Passo 1
O enunciado pede para parametrizar a curva
e em seguida calcular o comprimento dessa curva.
O conteúdo que vamos usar é parametrização de curvas planas e a fórmula de comprimento de arco
O conteúdo que vamos usar é parametrização de curvas planas e a fórmula de comprimento de arco
Passo 2
Reconhecemos que essa curva é a chamada astroid. Uma parametrização clássica é
porque
e assim
Tomamos
para percorrer o contorno inteiro.
Passo 3
Calculamos as derivadas em relação a
:
Passo 4
A velocidade escalar é
Como
, fica
Passo 5
Aplicando a fórmula do comprimento de arco:
Sabendo que
temos
Resposta
A parametrização é
e o comprimento total da curva é