1 (4 pts.) Consedere a aplicação linear
T: R^3 R^3, T(x, y, z)=(x+2 y-2 z, 2 x+y-2 z, 2 x+2 y-3 z)
Determine:
(a) O polinómio Caracteristico de T;
(b) Os autovalores de T;
(c) Uma base para cada subespaço próprio;
(d) O polinónio minimal de T. Decida se T é diagonalizável.

Passo 1

O enunciado dá a aplicação linear
Tcolon R^3toR^3, T(x,y,z)=(x+2y-2z,;2x+y-2z,;2x+2y-3z)
e pede: (a) o polinómio característico, (b) os autovalores, (c) uma base para cada subespaço próprio, (d) o polinómio minimal e se T é diagonalizável.
Conteúdo: matriz de T, determinante para achar o polinómio característico, resolução de sistemas (A-lambda I)v=0 para autovetores, e definição de polinómio minimal e diagonalizabilidade.

Passo 2

Em base canónica, a matriz de T é
A= 1 & 2 & -2 2 & 1 & -2 2 & 2 & -3
O polinómio característico é
det(A-lambda I) =det 1-lambda & 2 & -2 2 & 1-lambda & -2 2 & 2 & -3-lambda
Calculando por expansão na primeira linha chega-se a
det(A-lambda I)=(1-lambda)(lambda+1)^2

Passo 3

Os autovalores são as raízes de det(A-lambda I)=0, logo
lambda1=1(mu< alg 1), lambda2=-1(mu< alg 2)

Passo 4

Para resolvemos
As equações dão e . Logo o subespaço próprio tem dimensão 1 com base
Para resolvemos
que reduz a , ou seja . Assim tem dimensão 2 com base, por exemplo,

Passo 5

O polinómio minimal deve ter os mesmos factores lineares de cada autovalor, mas sem repetir expoentes já que a dimensão do subespaço próprio coincide com a multiplicidade algébrica. Assim
muT(lambda)=(lambda-1)(lambda+1)
Como a soma das dimensões dos subespaços próprios é 3, que é a dimensão de R^3, concluímos que T é diagonalizável.

Resposta

(a) ;pT(lambda)=det(A-lambda I)=(1-lambda)(lambda+1)^2
(b) ;lambda1=1,;lambda2=-1 (com multiplicidade algébrica 2).
(c) Para lambda=1: base (1,1,1). Para lambda=-1: base (1,0,1),,(0,1,1)
(d) ;muT(lambda)=(lambda-1)(lambda+1). Como cada autovalor gera subespaço de dimensão igual à sua multiplicidade algébrica, T é diagonalizável.

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