Determine:
(a) polinómio Caracteristico de ;
(b) Os autovalores de ;
(c) Uma base para cada subespaço próprio;
(d) O polinónio minimal de . Decida se é diagonalizável.
Passo 1
O enunciado dá a aplicação linear
e pede: (a) o polinómio característico, (b) os autovalores, (c) uma base para cada subespaço próprio, (d) o polinómio minimal e se é diagonalizável.
Conteúdo: matriz de , determinante para achar o polinómio característico, resolução de sistemas para autovetores, e definição de polinómio minimal e diagonalizabilidade.
Calculando por expansão na primeira linha chega-se a
det(A-lambda I)=(1-lambda)(lambda+1)^2
Passo 3
Os autovalores são as raízes de det(A-lambda I)=0, logo
lambda1=1(mu< alg 1), lambda2=-1(mu< alg 2)
Passo 4
Para resolvemos
As equações dão e . Logo o subespaço próprio tem dimensão 1 com base
Para resolvemos
que reduz a , ou seja . Assim tem dimensão 2 com base, por exemplo,
Passo 5
O polinómio minimal deve ter os mesmos factores lineares de cada autovalor, mas sem repetir expoentes já que a dimensão do subespaço próprio coincide com a multiplicidade algébrica. Assim
muT(lambda)=(lambda-1)(lambda+1)
Como a soma das dimensões dos subespaços próprios é 3, que é a dimensão de R^3, concluímos que T é diagonalizável.
Resposta
(a) ;pT(lambda)=det(A-lambda I)=(1-lambda)(lambda+1)^2
(b) ;lambda1=1,;lambda2=-1 (com multiplicidade algébrica 2).
(c) Para lambda=1: base (1,1,1). Para lambda=-1: base (1,0,1),,(0,1,1)
(d) ;muT(lambda)=(lambda-1)(lambda+1). Como cada autovalor gera subespaço de dimensão igual à sua multiplicidade algébrica, T é diagonalizável.