4 (2 pts.) Sejam
uma base de
a base canônica de
e
a aplicação linear cuja matriz nas bases
e
é
(a) Encontre uma base e determine a dimensão do núcleo e da imagem de
T ;
(b) Determine
T(x, y, z) .
(b) Determine
Passo 1
O enunciado define a base
B1=v1=(0,1,1),,v2=(1,0,0),,v3=(1,0,1) de
R^3 , a base canônica
B2 de
R^2 e a aplicação linear
cuja matriz em
B1,B2 é
Queremos (a) base e dimensões de
ker T e
Im T ; (b) a fórmula de
T(x,y,z) . Usaremos coordenadas em
B1 e propriedades de núcleo e imagem de uma matriz.
Passo 2
Dado
Comparando com
obtemos o sistema
Daí
Assim, as coordenadas de são
e
Passo 3
Para
resolvemos
Logo os vetores em
têm coordenadas
em
.
No espaço padrão, isso equivale a
No espaço padrão, isso equivale a
Portanto
e
.
e
Passo 4
A imagem de
é gerada pelas colunas da matriz
isto é, pelos vetores
em
.
Desses, por exemplo e
são linearmente independentes, logo
e
.
Desses, por exemplo
e
Passo 5
Substituindo
a=y ,
b=x+y-z ,
c=z-y em
T(v)=(a-c,,-a+b+c) obtemos
Resposta
(a)
ker T = span(1,1,2),;dimker T = 1; \n
Im T = span(1,-1),(0,1),;dimIm T = 2 \n(b)
T(x,y,z) = (2y - z,;x - y)