4 (2 pts.) Sejam B1:=(0,1,1),(1,0,0),(1,0,1) uma base de R^3, B2 a base canônica de R^2 e T: R^3 R^2 a aplicação linear cuja matriz nas bases B1 e B2 é
[T]B2^B1=(rrr 1 & 0 & -1 -1 & 1 & 1 )
(a) Encontre uma base e determine a dimensão do núcleo e da imagem de T;
(b) Determine T(x, y, z).

Passo 1

O enunciado define a base
B1=v1=(0,1,1),,v2=(1,0,0),,v3=(1,0,1) de R^3, a base canônica B2 de R^2 e a aplicação linear
T:R^3toR^2,
cuja matriz em B1,B2 é
[T]B2^B1 = 1 & 0 & -1 -1& 1 & 1
Queremos (a) base e dimensões de ker T e Im T; (b) a fórmula de T(x,y,z). Usaremos coordenadas em B1 e propriedades de núcleo e imagem de uma matriz.

Passo 2

Dado
Comparando com obtemos o sistema
Daí
Assim, as coordenadas de são
,
e

Passo 3

Para resolvemos
Logo os vetores em têm coordenadas em .
No espaço padrão, isso equivale a
Portanto

e
.

Passo 4

A imagem de é gerada pelas colunas da matriz
isto é, pelos vetores
em .
Desses, por exemplo e são linearmente independentes, logo

e
.

Passo 5

Substituindo a=y, b=x+y-z, c=z-y em
T(v)=(a-c,,-a+b+c) obtemos
T(x,y,z) =l(y - (z-y),,-y + (x+y-z)+(z-y)r) =l(2y - z,;x - yr)

Resposta

(a) ker T = span(1,1,2),;dimker T = 1;\n Im T = span(1,-1),(0,1),;dimIm T = 2 \n(b) T(x,y,z) = (2y - z,;x - y)

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