4 (2 pts.) Seja W o subespaço de R^4 gerado pelos vetores w1=(1,0,1,1) e w2=(1,1,2,0).
(a) Determine uma base B para o subespaço W^perp;
(b) Ortonormaliza a base B.

Passo 1

O enunciado pede, em , o subespaço ortogonal
com
e em (a) uma base de ; em (b) a ortonormalização dessa base. Para isso vamos usar:
  1. Condição de ortogonalidade .
  2. Resolução de sistema linear homogêneo por parâmetros livres.
  3. Gram–Schmidt para obter vetores ortonormais.

Passo 2

Seja x=(x1,x2,x3,x4)in W^perp. As duas condições são
w1cdot x = x1 + x3 + x4 = 0,
w2cdot x = x1 + x2 + 2x3 = 0
Isso dá o sistema homogêneo
x1 + x3 + x4 = 0, x1 + x2 + 2,x3 + 0;x4 = 0

Passo 3

Escolhemos x3=s e x4=t como parâmetros livres.
Da primeira equação x1 = -s - t.
Da segunda,
x2 = -,x1 -2s = -(-s - t) -2s = s + t -2s = t - s
Logo
x = l(-s-t,;t-s,;s,;tr) = s,(-1,-1,1,0);+;t,(-1,1,0,1)
Uma base de W^perp é então
B = ,(-1,-1,1,0),;(-1,1,0,1)

Passo 4

Agora ortonormalizamos B=v1,v2 com v1=(-1,-1,1,0) e v2=(-1,1,0,1).
  1. Seja u1=v1. |u1| = raiz(-1)^2+(-1)^2+1^2+0^2 = raiz3,
e1 = u1|u1| = 1raiz3,(-1,-1,1,0)
  1. Projeção de v2 sobre e1: lang<= v2,u1rang<= =(-1)(-1)+(1)(-1)+0cdot1+1cdot0 =1-1+0+0=0, logo u2 = v2 - 0cdot e1 = v2. |u2| = raiz(-1)^2+1^2+0^2+1^2 = raiz3, e2 = u2|u2| = 1raiz3,(-1,1,0,1)

Resposta

(a) B = ,(-1,-1,1,0),;(-1,1,0,1)
(b) Uma base ortonormal de W^perp é
l1raiz3(-1,-1,1,0),;1raiz3(-1,1,0,1)r

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