4 (2 pts.) Seja
o subespaço de
gerado pelos vetores
.
(a) Determine uma base
para o subespaço
;
(b) Ortonormaliza a base
.
(a) Determine uma base
(b) Ortonormaliza a base
Passo 1
O enunciado pede, em
, o subespaço ortogonal
com
com
e em (a) uma base de
; em (b) a ortonormalização dessa base. Para isso vamos usar:
- Condição de ortogonalidade
. - Resolução de sistema linear homogêneo por parâmetros livres.
- Gram–Schmidt para obter vetores ortonormais.
Passo 2
Seja
. As duas condições são
Isso dá o sistema homogêneo
Passo 3
Escolhemos
e
como parâmetros livres.
Da primeira equação .
Da segunda,
Da primeira equação
Da segunda,
Logo
Uma base de
é então
Passo 4
Agora ortonormalizamos
com
e
.
- Seja
.
- Projeção de
sobre : logo .
Resposta
(a)
(b) Uma base ortonormal de é
(b) Uma base ortonormal de