Considere o campo vetorial
onde
Mostre que
é conservativo sem exibir uma função potencial para
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que o campo vetorial
com
é conservativo, ou seja, que existe potencial. Para não achar o potencial explicitamente, vamos usar o critério do rotacional.
Passo 2
Sabemos que em um domínio simplesmente conexo (aqui
) um campo é conservativo se, e somente se,
Vamos então calcular cada componente de
Passo 3
Componente
:
Calculando:
Logo,
Passo 4
Componente
:
Temos:
Portanto,
Passo 5
Componente
:
Calculando:
Então,
Passo 6
Como todas as componentes do rotacional são zero e o domínio é simplesmente conexo, concluímos que
. Portanto,
é conservativo.
Resposta
Como
em
(domínio simplesmente conexo), o campo
é conservativo.