(3,0 pts) Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k
onde P(x, y, z)=y+cos (y^2+z^2), Q(x, y, z)=x-2 x y sen(y^2+z^2) e R(x, y, z)=2-2 x z sen(y^2+z^2)
(1,0 pts) Mostre que F é conservativo sem exibir uma função potencial para F.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que o campo vetorial vec F(x,y,z)=P,vec i+Q,vec j+R,vec k com
P=y+cos(y^2+z^2), Q=x-2xysin(y^2+z^2), R=2-2xzsin(y^2+z^2)
é conservativo, ou seja, que existe potencial. Para não achar o potencial explicitamente, vamos usar o critério do rotacional.

Passo 2

Sabemos que em um domínio simplesmente conexo (aqui R^3) um campo é conservativo se, e somente se,
nablatimesvec F=vec 0
Vamos então calcular cada componente de nablatimesvec F.

Passo 3

Componente i:
(nablatimesvec F)x=partial Rpartial y-partial Qpartial z
Calculando:
partial Rpartial y=partialpartial yl(2-2xzsin(y^2+z^2)r)=-2xzcos(y^2+z^2)cdot2y=-4xyzcos(y^2+z^2),
partial Qpartial z=partialpartial zl(x-2xysin(y^2+z^2)r)=-2xycos(y^2+z^2)cdot2z=-4xyzcos(y^2+z^2)
Logo,
partial Rpartial y-partial Qpartial z=0

Passo 4

Componente j:
(nablatimesvec F)y=partial Ppartial z-partial Rpartial x
Temos:
partial Ppartial z=partialpartial zl(y+cos(y^2+z^2)r)=-sin(y^2+z^2)cdot2z=-2zsin(y^2+z^2),
partial Rpartial x=partialpartial xl(2-2xzsin(y^2+z^2)r)=-2zsin(y^2+z^2)
Portanto,
partial Ppartial z-partial Rpartial x=0

Passo 5

Componente k:
(nablatimesvec F)z=partial Qpartial x-partial Ppartial y
Calculando:
partial Qpartial x=partialpartial xl(x-2xysin(y^2+z^2)r)=1-2ysin(y^2+z^2),
partial Ppartial y=partialpartial yl(y+cos(y^2+z^2)r)=1-2ysin(y^2+z^2)
Então,
partial Qpartial x-partial Ppartial y=0

Passo 6

Como todas as componentes do rotacional são zero e o domínio é simplesmente conexo, concluímos que nablatimesvec F=vec0. Portanto, vec F é conservativo.

Resposta

Como nablatimesvec F=vec0 em R^3 (domínio simplesmente conexo), o campo vec F é conservativo.

Exercícios relacionados