Seja f: R R a função definida por f(x)=-3 a^x onde a in R, 0. Sobre as informações:
i. f(x+y)=f(x) cdot f(y), forall x, y in R.
ii. f é bijetora.
iii. f é crescente e f(] 0,+infty[)=]-3,0[.
Podemos concluir que: apenas a afirmação (iii) é verdadeira.

Passo 1

O enunciado nos dá a função f: ℝ→ℝ definida por f(x)=−3·a^x, com 0<a<1. O conteúdo envolve propriedades de funções exponenciais (multiplicatividade, monotonicidade e bijetividade). Para resolver, vamos testar cada afirmação usando teoria de exponenciais e limites.

Passo 2

Queremos ver se f(x+y)=f(x)·f(y). Calculando:
f(x+y)=−3·a^x+y=−3·a^x·a^y
enquanto
f(x)·f(y)=(−3·a^x)·(−3·a^y)=9·a^x+y
Como −3·a{x+y}≠9·a{x+y}, a propriedade multiplicativa não vale. Logo, (i) é falsa.

Passo 3

Agora, para bijetividade, precisamos de injetividade e sobrejetividade. Como 0<a<1, a^x é estritamente decrescente, então f(x)=−3·a^x é estritamente crescente (multiplicar uma função decrescente por −3 inverte a ordem). Daí f é injetora. Mas
limx→−∞f(x)=−3·(+∞)=−∞ e limx→+∞f(x)=−3·0=0,
logo o contradomínio de f é (−∞,0), não todo ℝ. Portanto f não é sobrejetora e não é bijetora. Assim, (ii) é falsa.

Passo 4

Por fim, para (iii), já vimos que f é crescente. Em x>0 temos 0<a^x<1, então
-3·1<−3·a^x<0implies -3
Logo f(]0,+∞[)=]-3,0[. Assim, (iii) é verdadeira.

Resposta

Apenas a afirmação (iii) é verdadeira.

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