Seja
a função definida por
onde
. Sobre as informações:
i.
.
ii.
é bijetora.
iii.
é crescente e
.
Podemos concluir que: apenas a afirmação (iii) é verdadeira.
i.
ii.
iii.
Podemos concluir que: apenas a afirmação (iii) é verdadeira.
Passo 1
O enunciado nos dá a função f: ℝ→ℝ definida por f(x)=−3·a^x, com 0<a<1. O conteúdo envolve propriedades de funções exponenciais (multiplicatividade, monotonicidade e bijetividade). Para resolver, vamos testar cada afirmação usando teoria de exponenciais e limites.
Passo 2
Queremos ver se f(x+y)=f(x)·f(y). Calculando:
enquanto
Como −3·a{x+y}≠9·a{x+y}, a propriedade multiplicativa não vale. Logo, (i) é falsa.
Passo 3
Agora, para bijetividade, precisamos de injetividade e sobrejetividade. Como 0<a<1, a^x é estritamente decrescente, então f(x)=−3·a^x é estritamente crescente (multiplicar uma função decrescente por −3 inverte a ordem). Daí f é injetora. Mas
logo o contradomínio de f é (−∞,0), não todo ℝ. Portanto f não é sobrejetora e não é bijetora. Assim, (ii) é falsa.
Passo 4
Por fim, para (iii), já vimos que f é crescente. Em x>0 temos 0<a^x<1, então
Logo f(]0,+∞[)=]-3,0[. Assim, (iii) é verdadeira.
Resposta
Apenas a afirmação (iii) é verdadeira.