(3,0 pts) Considere o campo vetorial
F(x, y, z)=P(x, y, z) i+Q(x, y, z) j+R(x, y, z) k
onde P(x, y, z)=y+cos (y^2+z^2), Q(x, y, z)=x-2 x y sen(y^2+z^2) e R(x, y, z)=2-2 x z sen(y^2+z^2)
(1,0 pts) Obtenha uma função potencial para o campo F.

Passo 1

O enunciado dá o campo vetorial vec F(x,y,z)=P,vec i+Q,vec j+R,vec k, com
P=y+cos(y^2+z^2),
Q=x-2xy,sin(y^2+z^2) e
R=2-2xz,sin(y^2+z^2), e pede uma função potencial f(x,y,z) tal que nabla f=vec F. Vamos usar o conceito de campo conservativo e integrar componentes para obter f.

Passo 2

Para começar, integramos a componente P=partial fpartial x=y+cos(y^2+z^2) em relação a x, tratando y e z como constantes. Assim, temos
f(x,y,z)=integral l(y+cos(y^2+z^2)r),dx=xy+xcos(y^2+z^2)+C(y,z)

Passo 3

Em seguida, derivamos essa expressão em relação a y e igualamos à componente Q=partial fpartial y=x-2xysin(y^2+z^2). Calculamos
partialpartial yl(xy+xcos(y^2+z^2)+C(y,z)r)=x-2xysin(y^2+z^2)+Cy(y,z)
que deve ser igual a x-2xysin(y^2+z^2). Daí vem Cy(y,z)=0, logo C(y,z)=D(z).

Passo 4

Agora derivamos f(x,y,z)=xy+xcos(y^2+z^2)+D(z) em relação a z e igualamos à componente R=partial fpartial z=2-2xzsin(y^2+z^2). Temos
partialpartial zl(xy+xcos(y^2+z^2)+D(z)r)=-2xzsin(y^2+z^2)+D'(z)
que deve dar 2-2xzsin(y^2+z^2). Assim D'(z)=2 e integrando D(z)=2z+constante.

Passo 5

Reunindo tudo, a função potencial é
af(x,y,z)=xy+x\cos(y2+z2)+2z+C, onde C é constante arbitrária.

Resposta

f(x,y,z)=xy+xcos(y^2+z^2)+2z+C

Exercícios relacionados