Considere o campo vetorial
onde
Obtenha uma função potencial para o campo
.
Passo 1
O enunciado dá o campo vetorial
, com
,
e
, e pede uma função potencial
tal que
. Vamos usar o conceito de campo conservativo e integrar componentes para obter
.
Passo 2
Para começar, integramos a componente
em relação a
, tratando
e
como constantes. Assim, temos
Passo 3
Em seguida, derivamos essa expressão em relação a
e igualamos à componente
. Calculamos
que deve ser igual a
. Daí vem
, logo
.
Passo 4
Agora derivamos
em relação a
e igualamos à componente
. Temos
que deve dar
. Assim
e integrando
.
Passo 5
Reunindo tudo, a função potencial é
af(x,y,z)=xy+x\cos(y2+z2)+2z+C, onde é constante arbitrária.
af(x,y,z)=xy+x\cos(y2+z2)+2z+C, onde