1. (2,0 pts.) Considere a dízima periódica 1, \overline{18}. Obtenha a fração equivalente a dízima utilizando, exclusivamente, série geométrica.

Passo 1

O enunciado pede para converter a dízima periódica 1,\overline{18} em fração usando exclusivamente série geométrica. Para isso, vamos escrever a parte decimal periódica como soma de termos de uma progressão geométrica infinita.

Passo 2

Chamemos
x = 1,\overline{18} = 1 + 0,181818\ldots
e definamos
S = 0,181818\ldots
de modo que x = 1 + S.

Passo 3

Perceba que os termos de S são
0,18,\quad 0,0018,\quad 0,000018,\;\dots
ou seja,
S = \sum_{k=0}^{\infty}0,18\cdot(0,01)^{k}
onde o primeiro termo é a=0,18 e a razão é r=0,01.

Passo 4

Aplicando a fórmula da soma de série geométrica infinita,
S = \frac{a}{1 - r} = \frac{0,18}{1 - 0,01} = \frac{0,18}{0,99}.
Escrevendo em forma de fração exata:
0,18=\frac{18}{100},\quad 0,99=\frac{99}{100} \quad\Longrightarrow\quad S = \frac{\tfrac{18}{100}}{\tfrac{99}{100}} = \frac{18}{99} = \frac{2}{11}.

Passo 5

Voltando a x, temos
x = 1 + S = 1 + \frac{2}{11} = \frac{11}{11} + \frac{2}{11} = \frac{13}{11}.

Resposta

\displaystyle \frac{13}{11}

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