(2,0 pts.) Considere a dízima periódica 1, \overline{18}. Obtenha a fração equivalente a dízima utilizando, exclusivamente, série geométrica.
Passo 1
O enunciado pede para converter a dízima periódica 1,\overline{18} em fração usando exclusivamente série geométrica. Para isso, vamos escrever a parte decimal periódica como soma de termos de uma progressão geométrica infinita.
Passo 2
Chamemos
x = 1,\overline{18} = 1 + 0,181818\ldots
e definamos
S = 0,181818\ldots
de modo que x = 1 + S.
Passo 3
Perceba que os termos de S são
0,18,\quad 0,0018,\quad 0,000018,\;\dots
ou seja,
S = \sum_{k=0}^{\infty}0,18\cdot(0,01)^{k}
onde o primeiro termo é a=0,18 e a razão é r=0,01.
Passo 4
Aplicando a fórmula da soma de série geométrica infinita,