- (2,0 pts.) Considere a sequência de recorrência descrita por
, onde
. Demonstre que a sequência é convergente comprovando sua monotonicidade e limitação. Calcule o valor da convergência.
Passo 1
O enunciado define a sequência por
Pede-se mostrar que
é convergente provando que ela é monótona e limitada, e em seguida calcular o limite. O conteúdo usado será o Teorema de convergência para sequências monotônicas e limitadas e a resolução da equação de ponto fixo
.
Passo 2
Vamos calcular os primeiros termos para ter uma ideia do comportamento:
Vemos que
e todos os
são positivos. Isso sugere que a sequência é decrescente e limitada inferiormente.
Passo 3
Provar que
é decrescente, isto é,
para todo
. Calculemos
O denominador
é positivo porque
. Factorizando o numerador, obtemos
onde
isto é,
e
.
Como vemos nos primeiros termos que , temos sempre
Como vemos nos primeiros termos que
(esta última será justificada por indução no passo seguinte). Logo
e
, de modo que o numerador é negativo e o denominador positivo, implicando
Assim,
é estritamente decrescente.
Passo 4
Provar que
é limitada inferiormente por
e superiormente por
.
Base ( ):
e
, e de fato
Base (
Passo indutivo: suponha que
. Então
Mas
satisfaz
, logo
E como já mostramos que
, segue
. Por indução, a sequência fica sempre em
.
Portanto,
é decrescente e está contida num intervalo fechado e não vazio, o que garante convergência.
Passo 5
Seja
. Pelo limite da recorrência, temos
As raízes são
Como a sequência vale sempre entre
e
, o limite deve ser
Resposta
A sequência
é estritamente decrescente e limitada inferiormente por
, logo converge. O valor de sua convergência é