Verifique se cada série a seguir converge ou diverge. Indique qual o teste utilizado.
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\sqrt{n^{3}+2}} .

Passo 1

O enunciado pede para verificar se a série
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}}{\sqrt{n^{3}+2}}
converge ou diverge. O conteúdo principal aqui é reconhecimento de série do tipo P e uso do teste de comparação (mais especificamente, o teste da comparação limite).

Passo 2

Para ver o termo genérico em grande n, observamos
\frac{n^{2}}{\sqrt{n^{3}+2}} \sim \frac{n^{2}}{\sqrt{n^{3}}} = \frac{n^{2}}{n^{3/2}} = n^{1/2}.
Isso sugere comparar com a série
\sum_{n=1}^{\infty} n^{1/2},
que é uma p-série com p=-\tfrac12 (ou seja p=1/2<1) e diverge.

Passo 3

Aplicamos o teste da comparação limite entre
a_{n}=\frac{n^{2}}{\sqrt{n^{3}+2}} \quad\text{e}\quad b_{n}=n^{1/2}.
Calculamos
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n}}{b_{n}} = \lim_{n\to\infty} \frac{\displaystyle\frac{n^{2}}{\sqrt{n^{3}+2}}}{n^{1/2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{2}}{n^{1/2}\,\sqrt{n^{3}+2}} = \lim_{n\to\infty} \frac{n^{3/2}}{\sqrt{n^{3}+2}} =1.

Passo 4

Como esse limite é um número finito e não nulo, as duas séries têm o mesmo comportamento de convergência. Sabendo que
\sum_{n=1}^{\infty}n^{1/2}
é divergente (por ser p-série com p=1/2\le1), concluímos que a série original também diverge.

Resposta

A série diverge, por meio do teste de comparação limite com a p-série \sum n^{1/2}.

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