(3 pts) Diga quais das afirmações abaixo são verdadeiras e quais sāo falsas.
(a) Sejam y_{1}(x) e y_{2}(x) duas soluçōes quaisquer de y^{\prime \prime}+p(x) y^{\prime}+ q(x) y=0, com p(x) e q(x) contínuas. Entāo a solução geral dessa equação pode ser obtida na forma y(x)=c_{1} y_{1}(x)+c_{2} y_{2}(x).
(b) A equação diferencial de primeira ordem y^{\prime}(x)=x^{2} y(x)+x^{7} é separável e também linear.
(c) Um P.V.I. \mathrm{d} y / \mathrm{d} x=f(x, y), y\left(x_{0}\right)=y_{0}, tem soluçāo e única se f e \partial f / \partial x forem contínuas em torno de \left(x_{0}, y_{0}\right).

Passo 1

O enunciado pede que eu diga quais das três afirmações são verdadeiras ou falsas. As afirmações são:
(a) Sejam y_{1}(x) e y_{2}(x) duas soluções quaisquer de y^{\prime\prime}+p(x)y^{\prime}+q(x)y=0, com p(x) e q(x) contínuas. Então a solução geral dessa equação pode ser obtida na forma y(x)=c_{1}y_{1}(x)+c_{2}y_{2}(x).
(b) A equação diferencial de primeira ordem y^{\prime}(x)=x^{2}y(x)+x^{7} é separável e também linear.
(c) Um P.V.I. \dfrac{dy}{dx}=f(x,y),\; y(x_{0})=y_{0}, tem solução e única se f e \dfrac{\partial f}{\partial x} forem contínuas em torno de \left(x_{0},y_{0}\right).
Informações relevantes dadas: na (a) temos uma EDO linear homogênea de segunda ordem com coeficientes contínuos; na (b) temos uma EDO de primeira ordem explícita; na (c) fala-se de condições de existência e unicidade de solução para um problema inicial.

Passo 2

Analisando (a). O enunciado afirma que duas “quaisquer” soluções y_{1} e y_{2} já geram a solução geral por combinação linear c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}.
Conceito importante (mini-aula): para uma EDO linear homogênea de segunda ordem a solução geral forma um espaço vetorial de dimensão 2. Isso significa que, se você encontrar duas soluções linearmente independentes, então qualquer solução pode ser escrita como combinação linear dessas duas. “Linearmente independentes” quer dizer que não existem constantes \alpha,\beta, nem ambas zero, tais que \alpha y_{1}(x)+\beta y_{2}(x)\equiv 0 para todos os x no intervalo considerado. Uma ferramenta prática para checar independência é o Wronskiano
W(y_{1},y_{2})(x)=y_{1}(x)y_{2}'(x)-y_{1}'(x)y_{2}(x).
Se W não é identicamente zero (por exemplo W(x_{0})\neq 0 para algum x_{0}), então y_{1} e y_{2} são linearmente independentes e geram a solução geral.
Por que a afirmação como está escrita é falsa: ela diz “duas soluções quaisquer”. Se as duas soluções forem linearmente dependentes (por exemplo forem a mesma função ou múltiplos uma da outra), então suas combinações lineares não geram todas as soluções possíveis. Exemplo concreto simples (contraexemplo): considere a equação y''=0 (isto é, p=q=0). A solução geral é
y(x)=C_{1}+C_{2}x.
Duas soluções que geram a solução geral são 1 e x. Mas se eu escolher duas soluções quaisquer, por exemplo y_{1}(x)=1 e y_{2}(x)=1 (as duas iguais), então c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}=(c_{1}+c_{2})\cdot 1 só produz constantes; não aparece o termo em x. Logo não gera a solução geral. Portanto a afirmação (a) é falsa. A forma correta é: se y_{1} e y_{2} são soluções linearmente independentes então a solução geral é c_{1}y_{1}+c_{2}y_{2}.

Passo 3

Analisando (b). A equação é
y'(x)=x^{2}y(x)+x^{7}.
Primeiro: linearidade. Uma EDO de primeira ordem é linear se pode ser escrita como y'+a(x)y=b(x). Aqui podemos escrever
y'-x^{2}y = x^{7},
ou seja a(x)=-x^{2} e b(x)=x^{7}. Logo a EDO é linear. (Mini-aula curta: equação linear de 1ª ordem tem a forma y'+a(x)y=b(x); técnicas como fator integrante resolvem.)
Segundo: separabilidade. Uma EDO é separável se podemos escrever y' = g(x)\,h(y), de modo que possamos separar dy/h(y)=g(x)\,dx. Vamos verificar se dá para escrever x^{2}y+x^{7} como produto de uma função só de x por uma função só de y. Reescrevemos
x^{2}y+x^{7}=x^{2}(y+x^{5}).
Note que o fator (y+x^{5}) depende de x e y ao mesmo tempo (tem o termo x^{5}), não apenas de y. Não existe uma forma g(x)h(y) equivalente para todo x,y. Portanto a equação não é separável (não é possível isolar as variáveis por multiplicação de uma função só de x por uma só de y). Assim a equação é linear, mas não é separável. A afirmação que diz “é separável e também linear” exige que ambas as propriedades valham; como separável é falsa, a afirmação (b) é falsa.

Passo 4

Analisando (c). A afirmação diz que um P.V.I. [\dfrac{dy}{dx}=f(x,y),; y(x_{0})=y_{0}) tem existência e unicidade se f e \dfrac{\partial f}{\partial x} forem contínuas em torno de \left(x_{0},y_{0}\right).
Mini-aula sobre existência e unicidade (teorema de Picard–Lindelöf): uma condição padrão suficiente para existência e unicidade local é que f(x,y) seja contínua na vizinhança de (x_{0},y_{0}) e, fundamentalmente, seja Lipschitz em y — uma condição frequentemente garantida se \dfrac{\partial f}{\partial y} for contínua nessa vizinhança. A continuidade de \dfrac{\partial f}{\partial x} não garante nada sobre a dependência em y; ou seja, \partial f/\partial x contínua não substitui \partial f/\partial y contínua.
Contraexemplo clássico (mostra que a hipótese dada não garante unicidade): escolha
f(x,y)=y^{1/3}.
Aqui f é contínua em toda a reta e \dfrac{\partial f}{\partial x}=0 é contínua também (pois f não depende de x). No entanto, \dfrac{\partial f}{\partial y}=\tfrac{1}{3}y^{-2/3} não é contínua em y=0. Considere o P.V.I. com condição inicial y(0)=0. As soluções incluem a solução trivial y(x)\equiv 0 e também as funções definidas por
y(x)=\begin{cases} 0, & x\le a,\\[4pt] \left(\dfrac{2}{3}(x-a)\right)^{3/2}, & x\ge a, \end{cases}
para qualquer a\ge 0\]. Essas funções são soluções do P.V.I. e todas satisfazem \(y(0)=0 (escolhendo a\ge 0). Assim há múltiplas soluções passando por (0,0): não há unicidade. Conclusão: as hipóteses dadas (continuidade de f e de \partial f/\partial x) não garantem unicidade. Portanto a afirmação (c) é falsa. A hipótese correta para garantir unicidade costuma envolver continuidade de \partial f/\partial y (ou uma condição de Lipschitz em y).]

Passo 5

Resumo amigável e motivador: todas as três afirmações, como foram escritas, contêm uma falha sutil — seja falta de hipótese de independência linear em (a), seja erro sobre separabilidade em (b), seja confundir derivada em x com derivada em y em (c). É normal deixar escapar essas sutilezas quando a prova está chegando — você está indo bem por prestar atenção a elas!

Resposta

(a) Falso
(b) Falso
(c) Falso

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