( 1,5 pts ) Determinar três números positivos cuja o produto seja 64 e cuja soma seja a menor possível.

Passo 1

O enunciado pede três números positivos x,y,z tais que
xyz = 64
e cuja soma x+y+z seja a menor possível.
O conteúdo é otimização com restrição; aqui usaremos a desigualdade AM–GM (média aritmética–média geométrica).

Passo 2

Pela desigualdade AM–GM para três positivos x,y,z, temos
x+y+z3 >= (xyz)^!1/3
Como xyz=64, segue
(xyz)^!1/3 = 64^1/3 = 4,
logo
x+y+z3 >= 4 Longrightarrow x+y+z >= 12

Passo 3

A igualdade em AM–GM ocorre exatamente quando
x = y = z
Portanto, para minimizar a soma, devemos ter x=y=z.

Passo 4

Como x=y=z e xyz=64, obtemos
x^3 = 64 Longrightarrow x = 4
Logo y=4 e z=4.

Resposta

Os três números são 4,,4,,4, cuja soma mínima é 12.

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