(1,5 pts)Considere a função:
f(x)=\int_{0}^{x} \frac{1}{1+t^{3}} d t
(a) Obtenha uma série de potência para \frac{1}{1+t^{3}} até o termo de ordem t^{6}.
(b) Encontre a série de potência para f(x) até o termo de ordem x^{7}, por integração termo a termo.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{3}}\,dt
e pede duas coisas:
  • (a) obter uma série de potência para \dfrac{1}{1+t^{3}} até o termo de ordem t^{6};
  • (b) obter a série de potência de f(x) até o termo de ordem x^{7}, integrando termo a termo.
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
  • A integranda é \dfrac{1}{1+t^{3}}.
  • A integração é de 0 até x.
  • Queremos as séries truncadas (ou seja, até os termos indicados).

Passo 2

Vamos lembrar uma ferramenta básica e muito útil: a série geométrica. Para qualquer número \,u tal que |u|<1, vale
\frac{1}{1-u}=\sum_{n=0}^{\infty}u^{n}=1+u+u^{2}+u^{3}+\cdots.
Aqui podemos escrever \dfrac{1}{1+t^{3}}=\dfrac{1}{1-(-t^{3})}. Então basta aplicar a série geométrica com u=-t^{3}. Isso é válido quando |u|<1, ou seja quando |t^{3}|<1, equivalente a |t|<1. É importante saber que a expansão será uma série de potências em t.

Passo 3

Aplicando a substituição u=-t^{3} na fórmula da série geométrica:
\frac{1}{1+t^{3}}=\sum_{n=0}^{\infty}(-t^{3})^{n}=\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}t^{3n}.
Escrevendo os primeiros termos dessa soma:
\frac{1}{1+t^{3}}=1 - t^{3} + t^{6} - t^{9} + \cdots.
Como o enunciado pede até o termo de ordem t^{6}, truncamos após t^{6}. O desenvolvimento é válido em |t|<1.

Passo 4

Assim obtemos a série truncada solicitada:
\frac{1}{1+t^{3}}=1 - t^{3} + t^{6} + O(t^{9})\qquad(\text{para }|t|<1).
Aqui o símbolo O(t^{9}) indica termos de ordem t^{9} e superiores que foram desprezados no truncamento.

Passo 5

Agora vamos integrar termo a termo para obter f(x)=\int_{0}^{x}\dfrac{1}{1+t^{3}}\,dt. Justificativa rápida e intuitiva: dentro do intervalo [0,x] com |x|<1 a série converge uniformemente, então podemos integrar a série termo a termo. Também usamos a regra básica de integração de potências: \int t^{n}\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1).
Integrando cada termo da série truncada de \dfrac{1}{1+t^{3}}:
  • \displaystyle \int_{0}^{x} 1\,dt = x.
  • \displaystyle \int_{0}^{x} (-t^{3})\,dt = -\left.\frac{t^{4}}{4}\right|_{0}^{x} = -\frac{x^{4}}{4}.
  • \displaystyle \int_{0}^{x} t^{6}\,dt = \left.\frac{t^{7}}{7}\right|_{0}^{x} = \frac{x^{7}}{7}.
Os termos seguintes na integranda começam em t^{9}, cuja integral seria da ordem x^{10}; portanto, até ordem x^{7} só precisamos dos três termos acima.

Passo 6

Juntando os resultados da integração, obtemos a série de f(x) truncada até x^{7}:
f(x)=x - \frac{x^{4}}{4} + \frac{x^{7}}{7} + O(x^{10})\qquad(\text{para }|x|<1).
Isso responde (b). Está tudo bem até aqui — se quiser, dá para praticar pegando um valor pequeno de x (por exemplo x=0,1) e comparar a aproximação truncada com a integral numérica para ganhar confiança.

Resposta

(a) \dfrac{1}{1+t^{3}} = 1 - t^{3} + t^{6} + O(t^{9})
(b) f(x)=x - \dfrac{x^{4}}{4} + \dfrac{x^{7}}{7} + O(x^{10})

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