(a) Obtenha uma série de potência para \frac{1}{1+t^{3}} até o termo de ordem t^{6}.
(b) Encontre a série de potência para f(x) até o termo de ordem x^{7}, por integração termo a termo.
Passo 1
O enunciado dá a função
f(x)=\int_{0}^{x}\frac{1}{1+t^{3}}\,dt
e pede duas coisas:
(a) obter uma série de potência para \dfrac{1}{1+t^{3}} até o termo de ordem t^{6};
(b) obter a série de potência de f(x) até o termo de ordem x^{7}, integrando termo a termo.
Informações relevantes que temos desde o enunciado:
A integranda é \dfrac{1}{1+t^{3}}.
A integração é de 0 até x.
Queremos as séries truncadas (ou seja, até os termos indicados).
Passo 2
Vamos lembrar uma ferramenta básica e muito útil: a série geométrica. Para qualquer número \,u tal que |u|<1, vale
Aqui podemos escrever \dfrac{1}{1+t^{3}}=\dfrac{1}{1-(-t^{3})}. Então basta aplicar a série geométrica com u=-t^{3}. Isso é válido quando |u|<1, ou seja quando |t^{3}|<1, equivalente a |t|<1. É importante saber que a expansão será uma série de potências em t.
Passo 3
Aplicando a substituição u=-t^{3} na fórmula da série geométrica:
Aqui o símbolo O(t^{9}) indica termos de ordem t^{9} e superiores que foram desprezados no truncamento.
Passo 5
Agora vamos integrar termo a termo para obter f(x)=\int_{0}^{x}\dfrac{1}{1+t^{3}}\,dt. Justificativa rápida e intuitiva: dentro do intervalo [0,x] com |x|<1 a série converge uniformemente, então podemos integrar a série termo a termo. Também usamos a regra básica de integração de potências: \int t^{n}\,dt=\dfrac{t^{n+1}}{n+1} (para n\neq -1).
Integrando cada termo da série truncada de \dfrac{1}{1+t^{3}}:
Os termos seguintes na integranda começam em t^{9}, cuja integral seria da ordem x^{10}; portanto, até ordem x^{7} só precisamos dos três termos acima.
Passo 6
Juntando os resultados da integração, obtemos a série de f(x) truncada até x^{7}:
Isso responde (b). Está tudo bem até aqui — se quiser, dá para praticar pegando um valor pequeno de x (por exemplo x=0,1) e comparar a aproximação truncada com a integral numérica para ganhar confiança.