(1,5 pts) Considere a série:
(a) Use o teste da comparação para determinar a convergência;
(b) Aplique o teste da razão e comente sua eficácia.
(b) Aplique o teste da razão e comente sua eficácia.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de termos positivos
Pede-se:
- (a) usar o teste da comparação para determinar se a série converge ou diverge;
- (b) aplicar o teste da razão e comentar se ele foi eficaz (ou seja, se ele decide a convergência).
Informações dadas que vamos usar: cada termo da série é
e os termos são positivos para todo
.
Passo 2
Lembrete didático sobre o teste da comparação direta e séries
-séries:
- Uma
-série tem a forma . Ela converge se, e somente se, . - O teste da comparação direta: se
para todo a partir de algum e converge, então também converge. - Há também o teste da comparação limite: se
, e com , então e têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
Vou usar esses fatos para comparar a série dada com uma
-série adequada.
Passo 3
Aplicação simples do teste da comparação direta (desenvolvendo todas as desigualdades):
Para temos
. Como o numerador
é positivo, segue
Para
Agora simplifico o lado direito:
Sabendo que
é uma
-série com
(logo converge) e que
também converge (
), a soma das duas séries converge. Portanto a série majorante
converge. Pelo teste da comparação direta, como
para todo
, concluímos que
converge.
Passo 4
Complemento didático usando o teste da comparação por limite (opcional, mas útil para entender a ordem dos termos):
Considere comparar com
. Calculo o limite
Considere comparar
Agora fatorando
no numerador e denominador:
Quando
os termos
e
vão para
, logo o limite vale
. Assim
Pelo teste da comparação por limite, como
converge e o limite é uma constante finita não nula, a série original também converge. Isso confirma a conclusão do passo anterior e mostra que
tem ordem assintótica
.
Passo 5
Agora o teste da razão: formulação e cálculo.
O teste da razão diz: para termos positivos , calcule
O teste da razão diz: para termos positivos
Se
a série converge absolutamente; se
diverge; se
o teste é inconclusivo.
Vamos calcular
para
. Primeiro escrevo
em forma assintótica que facilita a razão:
Então
Rearranjando:
Agora passo ao limite termo a termo quando
:
-
porque . -
porque os numeradores e denominadores vão para . -
pelo mesmo motivo.
Multiplicando os limites (todos iguais a
), obtemos
Portanto o teste da razão dá
, que é o caso inconclusivo do próprio teste.
Passo 6
Comentário sobre eficácia dos testes (didático e prático):
- O teste da comparação (direta ou por limite) foi muito eficaz aqui porque os termos são razões de polinômios: comparando os graus do numerador e denominador concluímos que
é da ordem de . Como , a comparação com uma -série levou rapidamente à convergência. - O teste da razão falhou em decidir porque ele é adequado quando as razões entre termos seguintes tendem a um número estritamente menor que
(casos com fatoriais ou exponenciais). Para sequências que seguem uma potência , a razão entre termos sucessivos tende a (aqui tende a ), deixando o teste inconclusivo. Isso é esperado e não é um erro no cálculo: é uma limitação do critério.
Resposta
(a) A série converge (por comparação com
).
(b) O teste da razão dá , portanto é inconclusivo.
(b) O teste da razão dá