(1,5 pts) Considere a série:
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+3}{n^{5}+4 n}
(a) Use o teste da comparação para determinar a convergência;
(b) Aplique o teste da razão e comente sua eficácia.

Passo 1

O enunciado nos dá a série de termos positivos
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+3}{n^{5}+4 n}.
Pede-se:
  • (a) usar o teste da comparação para determinar se a série converge ou diverge;
  • (b) aplicar o teste da razão e comentar se ele foi eficaz (ou seja, se ele decide a convergência).
Informações dadas que vamos usar: cada termo da série é
a_n=\frac{n^{2}+3}{n^{5}+4 n},
e os termos são positivos para todo n\ge1.

Passo 2

Lembrete didático sobre o teste da comparação direta e séries p-séries:
  • Uma p-série tem a forma \sum_{n=1}^\infty \dfrac{1}{n^{p}}. Ela converge se, e somente se, p>1.
  • O teste da comparação direta: se 0\le a_n\le b_n para todo n a partir de algum N e \sum b_n converge, então \sum a_n também converge.
  • Há também o teste da comparação limite: se a_n>0, b_n>0 e \lim_{n\to\infty} \dfrac{a_n}{b_n}=c com 0<c<\infty, então \sum a_n e \sum b_n têm o mesmo comportamento (ambas convergem ou ambas divergem).
Vou usar esses fatos para comparar a série dada com uma p-série adequada.

Passo 3

Aplicação simples do teste da comparação direta (desenvolvendo todas as desigualdades):
Para n\ge1 temos n^{5}+4n \ge n^{5}. Como o numerador n^{2}+3 é positivo, segue
0 \le \frac{n^{2}+3}{n^{5}+4 n} \le \frac{n^{2}+3}{n^{5}}.
Agora simplifico o lado direito:
\frac{n^{2}+3}{n^{5}}=\frac{n^{2}}{n^{5}}+\frac{3}{n^{5}}=\frac{1}{n^{3}}+\frac{3}{n^{5}}.
Sabendo que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n^{3}} é uma p-série com p=3>1 (logo converge) e que \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{3}{n^{5}} também converge ( p=5>1), a soma das duas séries converge. Portanto a série majorante
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{n^{3}}+\frac{3}{n^{5}}\right)
converge. Pelo teste da comparação direta, como 0\le a_n\le\frac{1}{n^{3}}+\frac{3}{n^{5}} para todo n, concluímos que
\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^{2}+3}{n^{5}+4 n}
converge.

Passo 4

Complemento didático usando o teste da comparação por limite (opcional, mas útil para entender a ordem dos termos):
Considere comparar a_n com b_n=\dfrac{1}{n^{3}}. Calculo o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{b_n} =\lim_{n\to\infty}\frac{\dfrac{n^{2}+3}{n^{5}+4n}}{\dfrac{1}{n^{3}}} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{3}(n^{2}+3)}{n^{5}+4n} =\lim_{n\to\infty}\frac{n^{5}+3n^{3}}{n^{5}+4n}.
Agora fatorando n^{5} no numerador e denominador:
\frac{n^{5}+3n^{3}}{n^{5}+4n} =\frac{n^{5}\!\left(1+\dfrac{3}{n^{2}}\right)}{n^{5}\!\left(1+\dfrac{4}{n^{4}}\right)} =\frac{1+\dfrac{3}{n^{2}}}{1+\dfrac{4}{n^{4}}}.
Quando n\to\infty os termos \dfrac{3}{n^{2}} e \dfrac{4}{n^{4}} vão para 0, logo o limite vale 1. Assim
\lim_{n\to\infty}\frac{a_n}{1/n^{3}}=1.
Pelo teste da comparação por limite, como \sum 1/n^{3} converge e o limite é uma constante finita não nula, a série original também converge. Isso confirma a conclusão do passo anterior e mostra que a_n tem ordem assintótica 1/n^{3}.

Passo 5

Agora o teste da razão: formulação e cálculo.
O teste da razão diz: para termos positivos a_n, calcule
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}.
Se L<1 a série converge absolutamente; se L>1 diverge; se L=1 o teste é inconclusivo.
Vamos calcular a_{n+1}/a_n para a_n=\dfrac{n^{2}+3}{n^{5}+4n}. Primeiro escrevo a_n em forma assintótica que facilita a razão:
a_n=\frac{n^{2}+3}{n^{5}+4n} =\frac{1}{n^{3}}\cdot\frac{1+\dfrac{3}{n^{2}}}{1+\dfrac{4}{n^{4}}}.
Então
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\frac{\dfrac{1}{(n+1)^{3}}\cdot\left(1+\dfrac{3}{(n+1)^{2}}\right)\big/\left(1+\dfrac{4}{(n+1)^{4}}\right)} {\dfrac{1}{n^{3}}\cdot\left(1+\dfrac{3}{n^{2}}\right)\big/\left(1+\dfrac{4}{n^{4}}\right)}.
Rearranjando:
\frac{a_{n+1}}{a_n} =\left(\frac{n}{n+1}\right)^{3} \cdot \frac{1+\dfrac{3}{(n+1)^{2}}}{1+\dfrac{3}{n^{2}}} \cdot \frac{1+\dfrac{4}{n^{4}}}{1+\dfrac{4}{(n+1)^{4}}}.
Agora passo ao limite termo a termo quando n\to\infty:
  • \displaystyle\left(\frac{n}{n+1}\right)^{3}\to 1 porque \frac{n}{n+1}\to1.
  • \displaystyle\frac{1+\dfrac{3}{(n+1)^{2}}}{1+\dfrac{3}{n^{2}}}\to 1 porque os numeradores e denominadores vão para 1.
  • \displaystyle\frac{1+\dfrac{4}{n^{4}}}{1+\dfrac{4}{(n+1)^{4}}}\to 1 pelo mesmo motivo.
Multiplicando os limites (todos iguais a 1), obtemos
L=\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1.
Portanto o teste da razão dá L=1, que é o caso inconclusivo do próprio teste.

Passo 6

Comentário sobre eficácia dos testes (didático e prático):
  • O teste da comparação (direta ou por limite) foi muito eficaz aqui porque os termos são razões de polinômios: comparando os graus do numerador e denominador concluímos que a_n é da ordem de 1/n^{3}. Como 3>1, a comparação com uma p-série levou rapidamente à convergência.
  • O teste da razão falhou em decidir porque ele é adequado quando as razões entre termos seguintes tendem a um número estritamente menor que 1 (casos com fatoriais ou exponenciais). Para sequências que seguem uma potência 1/n^{p}, a razão entre termos sucessivos tende a 1 (aqui tende a 1), deixando o teste inconclusivo. Isso é esperado e não é um erro no cálculo: é uma limitação do critério.

Resposta

(a) A série converge (por comparação com \sum \dfrac{1}{n^{3}}).
(b) O teste da razão dá \displaystyle\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=1, portanto é inconclusivo.

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