(1,5 pts) A função
pode ser expressa como série de Maclaurin.
(a) Escreva os termos até
.
(b) Apresente o valor aproximado para
.
(a) Escreva os termos até
(b) Apresente o valor aproximado para
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- (a) escrever os termos da série de Maclaurin até
; - (b) usar essa série para apresentar um valor aproximado de
.
Informações relevantes que temos do enunciado:
- A série pedida é a série de Maclaurin (ou seja, a expansão em torno de
). - Para obter a série precisamos dos derivados de
em ou a forma conhecida da série de . - Para calcular
vamos substituir na expansão truncada.
Passo 2
O que é série de Maclaurin e como vamos usar: a série de Maclaurin de uma função
(isto é, a série de Taylor centrada em
) é dada por
onde
é a
-ésima derivada de
avaliada em
. Vou calcular as primeiras derivadas de
e avaliá‑las em
.
Calculemos as derivadas (mostrando cada passo para você poder repetir na prova):
Derivando uma vez:
Derivando de novo:
Terceira derivada:
Quarta derivada:
Agora avalio cada uma em
:
Passo 3
Construindo os termos da série usando a fórmula de Maclaurin:
Substituindo os valores que calculamos:
Simplificando os coeficientes:
Uma forma compacta do termo geral (útil para a prova) é
Passo 4
Agora fazemos a aproximação pedida em (b). Para
usamos
(porque
). Tomamos a série truncada até
:
Substituindo
e calculando termo a termo:
Somando passo a passo:
Portanto a aproximação com até
é aproximadamente
(arredondando).
Passo 5
Estimativa do erro (importante para a prova): a série é alternada para
e os módulos dos termos decrescem, então pelo critério de Leibniz o erro ao truncar após o termo
tem magnitude menor que o módulo do próximo termo. O próximo termo é
, com
Logo o erro absoluto é no máximo
. Isso confirma que a aproximação
está a uma distância menor que
do valor exato. Para comparação (só para referência), o valor verdadeiro é
, de modo que o erro real da truncatura até
é cerca de
, menor que o limite anterior.