1: (2,5 pts.) Considere a lámına que ocupa a região delimitada por y=x^2, y=-x^2, com 0 <= x <= 1 e função densidade rho(x, y)=x. Calcule a massa e o centro de massa da lâmina.

Passo 1

O enunciado considera uma lâmina de densidade dada por rho(x,y)=x sobre a região
R = (x,y)mid 0<= x<=1,,-x^2<= y<= x^2
Ele pede a massa M e o centro de massa (bar x,bar y). Vamos usar as fórmulas
M = integral duplaR rho(x,y),dA,
bar x = 1Mintegral duplaR x,rho(x,y),dA, bar y = 1Mintegral duplaR y,rho(x,y),dA

Passo 2

Calculamos a massa inserindo rho(x,y)=x no integral e trocando a ordem de integração:
M = integralx=0^1!integraly=-x^2^x^2 x,dy,dx
A integral interna em y
integral-x^2^x^2 x,dy = xl[yr]-x^2^x^2 = xcdot(2x^2) = 2x^3
Logo
M = integral0^1 2x^3,dx = 2cdotx^44|0^1 = 12

Passo 3

Para bar x calculamos
integral duplaR x,rho(x,y),dA = integral0^1!integral-x^2^x^2 xcdot x,dy,dx = integral0^1!integral-x^2^x^2 x^2,dy,dx
De modo análogo ao passo anterior, a integral em y vale 2x^4, então
integral duplaR x,rho(x,y),dA = integral0^1 2x^4,dx = 2cdotx^55|0^1 = 25
Dividindo por M=tfrac12 obtém-se
bar x = tfrac25tfrac12 = 45

Passo 4

Para bar y temos
integral duplaR y,rho(x,y),dA = integral0^1!integral-x^2^x^2 y,x,dy,dx
Como y é função ímpar em relação a y=0 e o intervalo é simétrico, essa integral anula-se. Logo
bar y = 0

Resposta

M = tfrac12
(bar x,bar y) = l(tfrac45,0r)

Exercícios relacionados