Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
sujeita a
e
, usando a transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
e
, além de
.
Passo 2
Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da EDO:
Substituindo as fórmulas e as condições iniciais
,
, obtemos
Passo 3
Reorganizando termos semelhantes no lado esquerdo:
ou seja
Então isolamos
:
Passo 4
Fatoramos o denominador quadrático:
Assim
Agora vamos decompor cada fração em parcelas simples.
Passo 5
Primeiro descompondo
.
Igualando numeradores:
Igualando numeradores:
Logo
Depois descompondo
Multiplicando tudo por
e igualando coeficientes, chega-se a
Passo 6
Reescrevendo
com os coeficientes encontrados:
Agrupando termos semelhantes:
Passo 7
Aplicamos a transformada inversa em cada parcela simples, sabendo que
e
. Assim