Use a transformada de Laplace para resolver os seguintes problemas de valor inicial:
y^prime prime+7 y^prime+12 y & =21 e^3 x y(0)=1 & y^prime(0)=3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 7y' + 12y = 21e^3x,
sujeita a y(0)=1 e y'(0)=3, usando a transformada de Laplace. Vamos precisar das propriedades
Ly'=sY(s)-y(0) e
Ly''=s^2Y(s)-sy(0)-y'(0), além de Le^3x=1/(s-3).

Passo 2

Aplicamos a transformada de Laplace em cada termo da EDO:
Ly'' + 7Ly' + 12Ly = 21,Le^3x
Substituindo as fórmulas e as condições iniciais y(0)=1, y'(0)=3, obtemos
s^2Y(s)-scdot1-3 ;+;7l(sY(s)-1r);+;12Y(s) ;=;21,1s-3

Passo 3

Reorganizando termos semelhantes no lado esquerdo:
(s^2 + 7s + 12),Y(s);-;(s+3+7) ;=;21s-3,
ou seja
(s^2+7s+12),Y(s);-;(s+10) ;=;21s-3
Então isolamos Y(s):
Y(s) =s+10s^2+7s+12;+;21(s-3)(s^2+7s+12)

Passo 4

Fatoramos o denominador quadrático:
s^2+7s+12=(s+3)(s+4)
Assim
Y(s) =s+10(s+3)(s+4) +21(s-3)(s+3)(s+4)
Agora vamos decompor cada fração em parcelas simples.

Passo 5

Primeiro descompondo s+10(s+3)(s+4)= As+3+Bs+4.
Igualando numeradores:
s+10 = A(s+4)+B(s+3) =(A+B)s+(4A+3B)
Logo
A+B=1,4A+3B=10 ;Longrightarrow;A=7,;B=-6
Depois descompondo
21(s-3)(s+3)(s+4) =Cs-3+Ds+3+Es+4
Multiplicando tudo por (s-3)(s+3)(s+4) e igualando coeficientes, chega-se a
C=tfrac12, D=-tfrac72, E=3

Passo 6

Reescrevendo Y(s) com os coeficientes encontrados:
Y(s) =7s+3-6s+4 +l(12r)1s-3 -l(72r)1s+3 +3,1s+4
Agrupando termos semelhantes:
Y(s) =7-tfrac72s+3 +-6+3s+4 +12,1s-3 =7/2s+3-3s+4+1/2s-3

Passo 7

Aplicamos a transformada inversa em cada parcela simples, sabendo que
L^-11/(s+a)=e^-ax e L^-11/(s-3)=e^3x. Assim
y(x) =72e^-3x-3e^-4x+12,e^3x

Resposta

boxedy(x)=72e^-3x-3e^-4x+12,e^3x

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