Dê um exemplo de matriz de coeficientes, A, com pelo menos 2 linhas e 2 colunas, tal que o sistema de equações lineares A \boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} tenha:
0 ou infinitas soluções, dependendo de \boldsymbol{b}.

Passo 1

O enunciado pede um exemplo de matriz de coeficientes A de tamanho pelo menos 2\times2 tal que o sistema
A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b}
tenha ou nenhuma solução ou infinitas soluções, conforme o vetor \boldsymbol{b}. Para isso, usaremos a noção de posto (rank) de uma matriz e a condição de consistência de um sistema linear: se \mathrm{rank}(A)<\mathrm{número\\ de\\ incógnitas}úó, então ou não há solução (quando \boldsymbol{b} não pertence à coluna de A) ou há infinitas soluções (quando \boldsymbol{b} pertence à coluna de A).

Passo 2

Escolhemos a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[6pt] 2 & 2 \end{pmatrix}.
Repare que a segunda linha é o dobro da primeira, logo
\mathrm{rank}(A)=1<2.]

Passo 3

Escrevendo o sistema A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} com \boldsymbol{x}=(x_1,x_2) e \boldsymbol{b}=(b_1,b_2), temos as equações
\begin{cases} x_{1}+x_{2}=b_{1},\\[4pt] 2x_{1}+2x_{2}=b_{2}. \end{cases}
A segunda equação é exatamente o dobro da primeira, portanto as duas são compatíveis somente se
b_{2}=2\,b_{1}.]

Passo 4

Se b_{2}\neq2\,b_{1}\), o sistema fica \[\begin{cases} x_{1}+x_{2}=b_{1},\\\\ 2x_{1}+2x_{2}=b_{2}\neq2\,b_{1}, \end{cases}
que é um conflito (2,b_{1}\neq b_{2}], logo não há solução.

Passo 5

Se b_{2}=2\,b_{1}, as duas equações são equivalentes a
x_{1}+x_{2}=b_{1},
e temos uma equação com duas incógnitas. Assim, há infinitas soluções, por exemplo
x_{1}=t,\quad x_{2}=b_{1}-t,
com t\in\mathbb{R}.

Resposta

Um exemplo é
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 \\[4pt] 2 & 2 \end{pmatrix},
quando o sistema A\boldsymbol{x}=\boldsymbol{b} tem
– nenhuma solução se b_{2}\neq2\,b_{1},
– infinitas soluções se b_{2}=2\,b_{1}.]

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