Dê um exemplo de matriz de coeficientes,
, com pelo menos 2 linhas e 2 colunas, tal que o sistema de equações lineares
tenha:
0 ou infinitas soluções, dependendo de
.
0 ou infinitas soluções, dependendo de
Passo 1
O enunciado pede um exemplo de matriz de coeficientes
de tamanho pelo menos
tal que o sistema
tenha ou nenhuma solução ou infinitas soluções, conforme o vetor
. Para isso, usaremos a noção de posto (rank) de uma matriz e a condição de consistência de um sistema linear: se
, então ou não há solução (quando
não pertence à coluna de
) ou há infinitas soluções (quando
pertence à coluna de
).
Passo 2
Escolhemos a matriz
Repare que a segunda linha é o dobro da primeira, logo
Passo 3
Escrevendo o sistema
com
e
, temos as equações
A segunda equação é exatamente o dobro da primeira, portanto as duas são compatíveis somente se
Passo 4
Se
que é um conflito (2,b_{1}\neq b_{2}], logo não há solução.
Passo 5
Se
, as duas equações são equivalentes a
e temos uma equação com duas incógnitas. Assim, há infinitas soluções, por exemplo
com
.
Resposta
Um exemplo é
quando o sistema
tem
– nenhuma solução se ,
– infinitas soluções se .]
– nenhuma solução se
– infinitas soluções se