( 2,5 pts) Considere o sistema linear abaixo (nas variáveis \mathrm{x}, \mathrm{y}, \mathrm{z}\) ):
\[\begin{cases}1 x+1 y+1 z & =4 \\\\ 2 x+3 y+5 z & =4 \\\\ 2 x+3 y+\left(a^{2}-11\right) z & =a+8\end{cases}
Usando escalonamento e o teorema de Rouchè Capelli diga para quais valores de (a] o sistema acima tem solução única, para qual valor de@há infinitas soluções e para qual valor de a o sistema não tem solução.
Passo 1
O enunciado dá o sistema linear nas variáveis x,y,z\):
\[\begin{cases} 1x+1y+1z=4,\\[4pt] 2x+3y+5z=4,\\[4pt] 2x+3y+\bigl(a^{2}-11\bigr)z=a+8. \end{cases}
O que o problema pede:
Determinar para quais valores de a\] o sistema tem solução única;
- Determinar para qual valor de \(a há infinitas soluções;
- Determinar para qual valor de a o sistema não tem solução.
As informações relevantes fornecidas são as três equações acima, com parâmetro a aparecendo apenas na terceira equação (no coeficiente de z e no termo independente).]
Passo 2
Breve explicação da ferramenta que vamos usar (teorema de Rouché–Capelli) e do método (escalonamento):
O teorema de Rouché–Capelli diz: um sistema linear é consistente (tem pelo menos uma solução) se, e somente se, \operatorname{rank}(A)=\operatorname{rank}([A\mid b]), onde A é a matriz dos coeficientes e [A\mid b] é a matriz aumentada.
Além disso, se o sistema é consistente e o posto (rank) é igual ao número de incógnitas n então a solução é única; se o posto é menor que n então há infinitas soluções.
O escalonamento (eliminação de Gauss) consiste em aplicar operações elementares nas linhas (somar múltiplos de uma linha em outra, trocar linhas, multiplicar linha por escalar não nulo) para obter um sistema triangular/escalonado, o que facilita calcular o posto e as soluções.
Passo 3
Escrevemos a matriz aumentada inicial e aplicamos operações de linha claras e simples (cada passo é uma operação permitida):
Note que a^{2}-16=(a-4)(a+4). Aqui se vê imediatamente que o comportamento do sistema muda quando a^{2}-16=0, i.e., quando a=4 ou a=-4. Vamos analisar essas possibilidades usando Rouché–Capelli.]
Passo 5
Caso geral: a^{2}-16\neq0 (ou seja, a\neq4 e a\neq-4).
Se a^{2}-16\neq0, então da última linha temos um pivô não nulo na coluna de z, portanto a matriz dos coeficientes tem posto \operatorname{rank}(A)=3. Como existem 3 incógnitas (n=3), o posto igual a n implica que o sistema tem solução única (Rouché–Capelli).
Podemos encontrar a solução explicitamente por substituição: da última linha
z=\frac{a+4}{a^{2}-16}.
Como a\neq\pm4 podemos simplificar \dfrac{a+4}{(a+4)(a-4)}=\dfrac{1}{a-4}. Assim, para a\neq\pm4,
z=\frac{1}{a-4}.
Usando R_2 (que é y+3z=-4) obtemos
y=-4-3z=-4-\frac{3}{a-4}.
E da primeira equação x+y+z=4 obtemos
x=4-y-z=8+2z=8+\frac{2}{a-4}.
Portanto, quando a\neq\pm4 há solução única dada por
Substituindo a=4 na última linha escalonada obtemos coeficiente a^{2}-16=0 e termo independente a+4=8, portanto a última equação reduz-se a
0\cdot z = 8,
ou seja 0=8, que é uma contradição. Em termos de posto: \operatorname{rank}(A)=2 (a terceira linha da matriz de coeficientes virou zero), mas \operatorname{rank}([A\mid b])=3 (a coluna aumentada introduz um 8 que não está na combinação linear das colunas de A). Assim \operatorname{rank}(A)\neq\operatorname{rank}([A\mid b]), o sistema é inconsistente e não tem solução quando a=4.
Passo 7
Caso especial 2: a=-4.
Substituindo a=-4 a última linha escalonada dá coeficiente a^{2}-16=0 e termo independente a+4=0, portanto a última equação reduz-se a
0\cdot z = 0,
que é identicamente verdadeira. Nesse caso tanto \operatorname{rank}(A)=2 quanto \operatorname{rank}([A\mid b])=2, então o sistema é consistente mas o posto é menor que o número de incógnitas (2<3), logo há infinitas soluções (um parâmetro livre).
Podemos descrever a família de soluções escolhendo z=t como parâmetro. Das linhas escalonadas válidas vem