1 (2,0 pts.) Considere os pontos A=(2,-1,-5), B=(-1,3,2), C=(6,-1,19) e D=(9,-5,12)
(a) Verifique que os pontos A, B, C e D são coplanares;
(b) O quadrilátero square A B C D é um paralelogramo?

Passo 1

O enunciado dá quatro pontos em R^3:
A=(2,-1,-5), B=(-1,3,2), C=(6,-1,19), D=(9,-5,12)
Na parte (a) queremos checar se esses pontos são coplanares, o que usamos o produto misto de três vetores. Na parte (b) queremos saber se o quadrilátero ABCD é um paralelogramo, o que verificamos conferindo se pares de lados opostos são vetorialmente iguais.

Passo 2

Para testar coplanaridade, escolhemos A como origem e definimos os vetores
AB=B - A = (-3,4,7), AC=C - A = (4,0,24), AD=D - A = (7,-4,17)
O produto misto é dado pelo determinante
detl[AB,AC,ADr] = -3 & 4 & 7 4 & 0 & 24 7 & -4 & 17

Passo 3

Calculando o determinante:
&-3,(0cdot17-24cdot(-4)) -4,(4cdot17-24cdot7) +7,(4cdot(-4)-0cdot7) &=-3cdot96 -4cdot(-100) +7cdot(-16) =-288+400-112 =0
Como o produto misto é zero, concluímos que A,B,C,D são coplanares.

Passo 4

Para ver se ABCD é um paralelogramo, comparamos lados opostos. Calculamos
BC=C-B=(7,-4,17), AD=D-A=(7,-4,17),
logo BC=AD. Além disso,
DC=C-D=(-3,4,7) e AB=(-3,4,7),
portanto DC=AB.

Passo 5

Como ambos os pares de lados opostos são paralelos e congruentes, o quadrilátero ABCD é um paralelogramo.

Resposta

(a) Sim, os quatro pontos são coplanares (o produto misto deu zero).
(b) Sim, ABCD é um paralelogramo, pois BC=AD e AB=DC.

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