8 Determine as coordenadas das extremidades do latus rectum da parábola cuja diretriz é a reta y=-3 e cujo foco é o ponto (1,1).

Passo 1

O enunciado dá uma parábola definida pela diretriz y=-3 e pelo foco (1,1). Vamos usar a definição de parábola como o lugar geométrico dos pontos equidistantes do foco e da diretriz, determinar o vértice (ponto médio entre foco e diretriz), escrever a equação na forma canônica e então achar as extremidades do latus rectum (que é a corda pela passagem do foco e perpendicular ao eixo da parábola).

Passo 2

Primeiro achamos o vértice: é o ponto médio entre a reta diretiz y=-3 e o foco (1,1). Como a diretriz é horizontal, o vértice tem a mesma abscissa do foco e ordenada média entre 1 e -3. Logo,
h = 1, k = 1 + (-3)2 = -1,
isto é, o vértice é l(1,,-1r).

Passo 3

A distância do vértice ao foco é p. Aqui
p = ordenada do foco - ordenada do vértice = 1 - (-1) = 2 é
Como a parábola abre para cima e tem vértice (h,k)=(1,-1), a forma canônica é
(x - 1)^2 = 4p,(y + 1) Longrightarrow (x - 1)^2 = 8,(y + 1)

Passo 4

O latus rectum é a corda que passa pelo foco e é perpendicular ao eixo vertical. Portanto sua ordenada é y=1. Substituindo em
(x - 1)^2 = 8,(1 + 1) = 16
temos
x - 1 = pm 4 Longrightarrow x = 1 pm 4
Assim as extremidades são l(1-4,;1r) e l(1+4,;1r).

Resposta

As extremidades do latus rectum são
(-3,,1) e (5,,1)

Exercícios relacionados