2 (2,0 pts.) Dados os vetores e .
(a) Verifique que eles formam uma base para ;
(b) Determine as coordenadas do vetor nessa base.
Passo 1
O enunciado dá três vetores em :
e pede:
(a) mostrar que eles formam uma base de ;
(b) encontrar as coordenadas de nessa base.
Para (a) vamos usar o fato de que três vetores em formam base se são linearmente independentes, o que equivale a a matriz formada por eles ter determinante não nulo. Para (b) vamos escrever e resolver o sistema para .
Passo 2
Monte a matriz cujas colunas são :
Calcule det M usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores:
det M =1cdotl(1cdot(-3)-2cdot(-1)r) -2cdotl(0cdot(-3)-2cdot2r) +0cdot(cdots) =1cdot(-3+2)-2cdot(0-4) =-1-2cdot(-4) =-1+8 =7
Passo 3
Como det M=7neq0, a matriz é invertível e, portanto, u,v,w é conjunto de vetores linearmente independentes em R^3. Logo, eles formam uma base de R^3.
Passo 4
Para achar as coordenadas de a=(-1,1,2) nessa base, escrevemos