2 (2,0 pts.) Dados os vetores u=i+2 k, v=2 i+j-k e w=2 j-3 k.
(a) Verifique que eles formam uma base para R^3;
(b) Determine as coordenadas do vetor a=-i+j+2 k nessa base.

Passo 1

O enunciado dá três vetores em R^3:
u=(1,0,2), v=(2,1,-1), w=(0,2,-3),
e pede:
(a) mostrar que eles formam uma base de R^3;
(b) encontrar as coordenadas de a=(-1,1,2) nessa base.
Para (a) vamos usar o fato de que três vetores em R^3 formam base se são linearmente independentes, o que equivale a a matriz formada por eles ter determinante não nulo. Para (b) vamos escrever a=alphau+betav+gammaw e resolver o sistema para alpha,beta,gamma.

Passo 2

Monte a matriz cujas colunas são u,v,w:
M= 1 & 2 & 0 0 & 1 & 2 2 & -1 & -3
Calcule det M usando a regra de Sarrus ou expansão por cofatores:
det M =1cdotl(1cdot(-3)-2cdot(-1)r) -2cdotl(0cdot(-3)-2cdot2r) +0cdot(cdots) =1cdot(-3+2)-2cdot(0-4) =-1-2cdot(-4) =-1+8 =7

Passo 3

Como det M=7neq0, a matriz é invertível e, portanto, u,v,w é conjunto de vetores linearmente independentes em R^3. Logo, eles formam uma base de R^3.

Passo 4

Para achar as coordenadas de a=(-1,1,2) nessa base, escrevemos
alphau+betav+gammaw=a Longrightarrow alpha(1,0,2)+beta(2,1,-1)+gamma(0,2,-3)=(-1,1,2)
Isto gera o sistema:
alpha +2beta +0gamma = -1, 0alpha +beta +2gamma = 1, 2alpha -beta -3gamma = 2

Passo 5

Resolva por substituição: da primeira equação vem
alpha = -1 -2beta
Da segunda:
beta = 1 -2gamma
Substituindo alpha e beta na terceira:
2(-1-2beta)-beta-3gamma=2 ;Longrightarrow; -2-4beta-beta-3gamma=2 ;Longrightarrow; -5beta-3gamma=4
Agora insira beta=1-2gamma:
-5(1-2gamma)-3gamma=4 ;Longrightarrow; -5+10gamma-3gamma=4 ;Longrightarrow; 7gamma=9 ;Longrightarrow; gamma=tfrac97
Em seguida
beta=1-2cdottfrac97 =tfrac7-187 =-tfrac117, alpha=-1-2beta =-1-2l(-tfrac117r) =-1+tfrac227 =tfrac157

Resposta

(a) Sim, det M=7neq0, logo formam base de R^3.\n(b) As coordenadas de a na base u,v,w são
l(alpha,beta,gammar) =l(tfrac157,-tfrac117,tfrac97r)

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