(1.5 pts) Considere os problemas de valor inicial.
Resolva pelo método de Euler
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=-2 x y \\\ y(0)=1, \quad 0 \leq x \leq 0,6, \quad h=0,3 . \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado pede que se obtenha uma aproximação numérica da solução do problema de valor inicial usando o método de Euler, com os dados:
  • EDO: \;y' = -2 x y.
  • Condição inicial: \;y(0)=1.
  • Intervalo: \;0 \le x \le 0,6.
  • Passo: \;h=0,3.
O que se quer: calcular as aproximações de y nos pontos x=0,3 e x=0,6 usando o método de Euler explícito a partir de x=0.

Passo 2

O método de Euler explícito é uma forma simples de aproximar a solução de uma EDO. A ideia é usar a inclinação dada pela EDO em x_n para extrapolar linearmente até x_{n+1}. A fórmula do método é
y_{n+1}=y_n+h\,f(x_n,y_n),
onde:
  • h é o passo,
  • x_{n+1}=x_n+h,
  • f(x,y) é a função que define a derivada, aqui f(x,y)=-2xy,
  • y_n é a aproximação de y(x_n).
Explicando de forma concreta: partindo de (x_n,y_n) usa-se a reta tangente com inclinação f(x_n,y_n) para estimar y em x_{n+1}. O erro global do método é da ordem de h (erro proporcional a h).

Passo 3

Vamos montar a malha com passo h=0,3 no intervalo [0,0,6]:
x_0=0,\quad x_1=0,3,\quad x_2=0,6.
Número de passos: \;N=\dfrac{0,6-0}{0,3}=2.
O valor inicial é y_0=1.

Passo 4

Calculamos y_1 usando a fórmula de Euler. Primeiro avaliamos f em (x_0,y_0)=(0,1):
f(x_0,y_0)=-2\cdot x_0\cdot y_0=-2\cdot 0\cdot 1=0.
Agora aplicamos a fórmula
y_1=y_0+h\,f(x_0,y_0)=1+0,3\cdot 0=1.
Portanto a aproximação em x_1=0,3 é \;y_1=1.

Passo 5

Agora calculamos y_2. Avaliamos f em (x_1,y_1)=(0,3,\,1):
f(x_1,y_1)=-2\cdot x_1\cdot y_1=-2\cdot 0,3\cdot 1=-0,6.
Aplicando Euler:
y_2=y_1+h\,f(x_1,y_1)=1+0,3\cdot(-0,6)=1-0,18=0,82.
Portanto a aproximação em x_2=0,6 é \;y_2=0,82.

Passo 6

Breve comentário didático sobre verificação: esta EDO é separável, de modo que a solução exata é
y(x)=e^{-x^2},
pois \dfrac{dy}{y}=-2x\,dx leva a \ln y=-x^2+C e y(0)=1 implica C=0. Avaliando a solução exata:
y(0,3)=e^{-0,09}\approx 0,9139,\qquad y(0,6)=e^{-0,36}\approx 0,6977.
Comparando com Euler: y_1=1 (superestima em cerca de 0,086) e y_2=0,82 (superestima em cerca de 0,122). Isso ilustra que Euler é simples mas pode ter erro não desprezível para passos grandes; diminuir h melhora a aproximação.

Resposta

y(0)=1
y(0,3)\approx 1
y(0,6)\approx 0,82

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