(1.5 pts) Considere os problemas de valor inicial.
Resolva pelo método de Euler
Resolva pelo método de Euler
Passo 1
O enunciado pede que se obtenha uma aproximação numérica da solução do problema de valor inicial usando o método de Euler, com os dados:
- EDO:
. - Condição inicial:
. - Intervalo:
. - Passo:
.
O que se quer: calcular as aproximações de
nos pontos
e
usando o método de Euler explícito a partir de
.
Passo 2
O método de Euler explícito é uma forma simples de aproximar a solução de uma EDO. A ideia é usar a inclinação dada pela EDO em
para extrapolar linearmente até
. A fórmula do método é
onde:
-
é o passo, -
, -
é a função que define a derivada, aqui , -
é a aproximação de .
Explicando de forma concreta: partindo de
usa-se a reta tangente com inclinação
para estimar
em
. O erro global do método é da ordem de
(erro proporcional a
).
Passo 3
Vamos montar a malha com passo
no intervalo
:
Número de passos:
.
O valor inicial é
.
Passo 4
Calculamos
usando a fórmula de Euler. Primeiro avaliamos
em
:
Agora aplicamos a fórmula
Portanto a aproximação em
é
.
Passo 5
Agora calculamos
. Avaliamos
em
:
Aplicando Euler:
Portanto a aproximação em
é
.
Passo 6
Breve comentário didático sobre verificação: esta EDO é separável, de modo que a solução exata é
pois
leva a
e
implica
. Avaliando a solução exata:
Comparando com Euler:
(superestima em cerca de
) e
(superestima em cerca de
). Isso ilustra que Euler é simples mas pode ter erro não desprezível para passos grandes; diminuir
melhora a aproximação.