(1.5 pts) Seja I=\int_{0}^{0.6} \frac{d x}{1+x}. Considerando quatro casas depois da vírgula, faça:
(a) Calcule o valor aproximado de I usando o Método \frac{1}{3} de Simpson, com h=0,1.
(b) Calcule o valor real da integral e calcule o erro absoluto da solução aproximada obtida em (a).
(c) Calcule o valor aproximado de I usando a regra dos trapézios com h=0,1.
(d) Calcule o erro absoluto da solução aproximada obtida em (c).
(e) Qual dos métodos utilizados obteve melhor solução?
Passo 1
Lista clara do que o enunciado pede e das informações fornecidas:
O enunciado define a integral
I=\int_{0}^{0{,}6}\frac{dx}{1+x}.
Foi dado o passo (malha) h=0{,}1.
Pedidos:
(a) aproximar I pelo Método \tfrac{1}{3} de Simpson com h=0{,}1;
(b) calcular o valor real de I e o erro absoluto da aproximação de (a);
(c) aproximar I pela regra dos trapézios com h=0{,}1;
(d) calcular o erro absoluto da aproximação de (c);
(e) dizer qual método foi melhor.
Observação numérica importante: o intervalo [0,0{,}6] com h=0{,}1 tem \dfrac{0{,}6-0}{0{,}1}=6 subintervalos, ou seja n=6 (par), portanto o método de Simpson \tfrac{1}{3} composto é aplicável.
Passo 2
Explicação didática do Método \tfrac{1}{3} de Simpson (composto) e preparação dos pontos:
Fórmula do Simpson composto em n subintervalos (com n par) e passo h:
Arredondando o resultado final para quatro casas decimais (conforme instruído):
I_{S}\approx0{,}4700.
Comentário didático: o método de Simpson combina pares de subintervalos por aproximação por parábolas; por isso exige n par. Ele costuma ser mais preciso que trapézio para funções suaves.]
Passo 4
Cálculo exato da integral e erro absoluto da aproximação de (a):
Antiderivada de f(x)=\dfrac{1}{1+x} é \ln(1+x). Então o valor real exato é
Arredondando E_T para quatro casas decimais dá 0{,}0005.
Passo 8
Comparação entre os métodos e conclusão:
Erros calculados (valores precisos): E_S\approx0{,}0000027533 e E_T\approx0{,}0005071101.
O Método \tfrac{1}{3} de Simpson forneceu erro muito menor (da ordem de 10^{-6}) enquanto o trapézio teve erro da ordem de 10^{-4}–10^{-3}.
Conclusão: o Método \tfrac{1}{3} de Simpson foi mais preciso neste caso.
Resposta
(a) I_{S}\approx0{,}4700
(b) I=\ln(1{,}6)\approx0{,}4700\Rightarrow erro absoluto E_S\approx0{,}0000027533 (arredondado a quatro casas: 0{,}0000)
(c) I_{T}\approx0{,}4705
(d) erro absoluto E_T\approx0{,}0005071101 (arredondado a quatro casas: 0{,}0005)
(e) O Método \tfrac{1}{3} de Simpson obteve melhor solução (erro muito menor).