(1.5 pts) Seja I=\int_{0}^{0.6} \frac{d x}{1+x}. Considerando quatro casas depois da vírgula, faça:
(a) Calcule o valor aproximado de I usando o Método \frac{1}{3} de Simpson, com h=0,1.
(b) Calcule o valor real da integral e calcule o erro absoluto da solução aproximada obtida em (a).
(c) Calcule o valor aproximado de I usando a regra dos trapézios com h=0,1.
(d) Calcule o erro absoluto da solução aproximada obtida em (c).
(e) Qual dos métodos utilizados obteve melhor solução?

Passo 1

Lista clara do que o enunciado pede e das informações fornecidas:
  • O enunciado define a integral
I=\int_{0}^{0{,}6}\frac{dx}{1+x}.
  • Foi dado o passo (malha) h=0{,}1.
  • Pedidos:
    (a) aproximar I pelo Método \tfrac{1}{3} de Simpson com h=0{,}1;
    (b) calcular o valor real de I e o erro absoluto da aproximação de (a);
    (c) aproximar I pela regra dos trapézios com h=0{,}1;
    (d) calcular o erro absoluto da aproximação de (c);
    (e) dizer qual método foi melhor.
  • Observação numérica importante: o intervalo [0,0{,}6] com h=0{,}1 tem \dfrac{0{,}6-0}{0{,}1}=6 subintervalos, ou seja n=6 (par), portanto o método de Simpson \tfrac{1}{3} composto é aplicável.

Passo 2

Explicação didática do Método \tfrac{1}{3} de Simpson (composto) e preparação dos pontos:
  • Fórmula do Simpson composto em n subintervalos (com n par) e passo h:
\text{Simpson:}\qquad I_{S}=\frac{h}{3}\Big(f_0+4\sum_{j\\ \text{ímpar}} f_j +2\sum_{j\\ \text{par},\\ j\ne0,n} f_j + f_n\Big),í
onde f_j=f(x_j) e x_j=a+jh.
  • Aqui a=0, b=0{,}6, h=0{,}1, n=6. Os pontos são
x_0=0,\; x_1=0{,}1,\; x_2=0{,}2,\; x_3=0{,}3,\; x_4=0{,}4,\; x_5=0{,}5,\; x_6=0{,}6.
  • A função é f(x)=\dfrac{1}{1+x}. Vou calcular f_j em cada nó e arredondar os valores a quatro casas decimais (conforme pedido):
\begin{aligned} f_0&=f(0)=\dfrac{1}{1+0}=1{,}0000,\\\ f_1&=f(0{,}1)=\dfrac{1}{1{,}1}\approx0{,}9091,\\\ f_2&=f(0{,}2)=\dfrac{1}{1{,}2}\approx0{,}8333,\\\ f_3&=f(0{,}3)=\dfrac{1}{1{,}3}\approx0{,}7692,\\\ f_4&=f(0{,}4)=\dfrac{1}{1{,}4}\approx0{,}7143,\\\ f_5&=f(0{,}5)=\dfrac{1}{1{,}5}\approx0{,}6667,\\\ f_6&=f(0{,}6)=\dfrac{1}{1{,}6}=0{,}6250. \end{aligned}
(Os valores acima foram calculados com precisão suficiente e depois arredondados para quatro casas decimais.)

Passo 3

Aplicação numérica do Método \tfrac{1}{3} de Simpson (cálculo passo a passo):
  • Calcula-se a soma ponderada interna:
\begin{aligned} S_{\text{ímpar}}&=f_1+f_3+f_5\approx0{,}9090909091+0{,}7692307692+0{,}6666666667\\\ &\approx2{,}3449883449,\\[4pt] 4S_{\text{ímpar}}&\approx4\cdot2{,}3449883449\approx9{,}3799533796,\\[4pt] S_{\text{par}}&=f_2+f_4\approx0{,}8333333333+0{,}7142857143\approx1{,}5476190476,\\[4pt] 2S_{\text{par}}&\approx2\cdot1{,}5476190476\approx3{,}0952380952. \end{aligned}íí
  • Soma total no parêntese da fórmula:
T=f_0+4S_{\text{ímpar}}+2S_{\text{par}}+f_6\approx1{,}0000+9{,}3799533796+3{,}0952380952+0{,}6250\approx14{,}1001914748.í
  • Multiplicando por h/3 com h=0{,}1:
I_{S}=\frac{0{,}1}{3}\,T\approx\frac{0{,}1}{3}\cdot14{,}1001914748\approx0{,}4700063825.
  • Arredondando o resultado final para quatro casas decimais (conforme instruído):
I_{S}\approx0{,}4700.
  • Comentário didático: o método de Simpson combina pares de subintervalos por aproximação por parábolas; por isso exige n par. Ele costuma ser mais preciso que trapézio para funções suaves.]

Passo 4

Cálculo exato da integral e erro absoluto da aproximação de (a):
  • Antiderivada de f(x)=\dfrac{1}{1+x} é \ln(1+x). Então o valor real exato é
I=\int_{0}^{0{,}6}\frac{dx}{1+x}=\big[\ln(1+x)\big]_{0}^{0{,}6}=\ln(1{,}6)-\ln(1)=\ln(1{,}6).
  • Valor numérico de \ln(1{,}6) (com precisão suficiente):
I=\ln(1{,}6)\approx0{,}4700036292.
  • Erro absoluto da aproximação de Simpson:
E_S=\big|I-I_{S}\big|\approx\big|0{,}4700036292-0{,}4700063825\big|\approx0{,}0000027533.
  • Arredondamentos a quatro casas decimais:
    • I\approx0{,}4700,
    • E_S com quatro casas decimais fica 0{,}0000 (isto mostra que o erro é muito pequeno; forneci o valor mais preciso acima para interpretação).

Passo 5

Explicação didática da Regra dos Trapézios composta e preparação:
  • Fórmula do trapézio composto com passo h:
\text{Trapézio:}\qquad I_{T}=h\Big(\frac{f_0+f_n}{2}+\sum_{j=1}^{n-1} f_j\Big).é
  • Usaremos os mesmos f_j calculados no Passo 2.

Passo 6

Aplicação numérica da Regra dos Trapézios (cálculo passo a passo):
  • Soma dos nós internos:
\sum_{j=1}^{5} f_j=f_1+f_2+f_3+f_4+f_5\approx0{,}9090909091+0{,}8333333333+0{,}7692307692+0{,}7142857143+0{,}6666666667\approx3{,}8926073926.
  • Termo das extremidades:
\frac{f_0+f_6}{2}=\frac{1{,}0000+0{,}6250}{2}=0{,}8125.
  • Soma total e multiplicação por h=0{,}1:
I_{T}=0{,}1\Big(0{,}8125+3{,}8926073926\Big)\approx0{,}1\cdot4{,}7051073926\approx0{,}4705107393.
  • Arredondando para quatro casas decimais:
I_{T}\approx0{,}4705.

Passo 7

Cálculo do erro absoluto da aproximação por trapézio:
  • Erro absoluto:
E_T=\big|I-I_{T}\big|\approx\big|0{,}4700036292-0{,}4705107393\big|\approx0{,}0005071101.
  • Arredondando E_T para quatro casas decimais dá 0{,}0005.

Passo 8

Comparação entre os métodos e conclusão:
  • Erros calculados (valores precisos): E_S\approx0{,}0000027533 e E_T\approx0{,}0005071101.
  • O Método \tfrac{1}{3} de Simpson forneceu erro muito menor (da ordem de 10^{-6}) enquanto o trapézio teve erro da ordem de 10^{-4} 10^{-3}.
  • Conclusão: o Método \tfrac{1}{3} de Simpson foi mais preciso neste caso.

Resposta

(a) I_{S}\approx0{,}4700
(b) I=\ln(1{,}6)\approx0{,}4700 \Rightarrow erro absoluto E_S\approx0{,}0000027533 (arredondado a quatro casas: 0{,}0000)
(c) I_{T}\approx0{,}4705
(d) erro absoluto E_T\approx0{,}0005071101 (arredondado a quatro casas: 0{,}0005)
(e) O Método \tfrac{1}{3} de Simpson obteve melhor solução (erro muito menor).

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