Questão 1: O Banco Aurora ofereceu um financiamento com:
  • Valor do financiamento: R$ 180.000,00
  • Prazo: 36 meses
  • Taxa de juros: 1,3% ao mês
  • Sistema de amortização: Francês (SAF/Price)
  • Prestação fixa durante todo o contrato
    a) Encontrar a prestação fixa:

OBSERVAÇÃO:

  • Faça com fórmulas e também com os passos a passos de como resolver na calculadora HP12C.
    b) Montar pelo menos 5 primeiras prestações com juros, amortização e saldo devedor.

OBSERVAÇÃO:

  • Faça com fórmulas e também com os passos a passos de como resolver na calculadora HP12C.
  • Monte uma tabela contendo os:
N Prestação Juros Amortização Saldo Devedor
c) Informar o saldo devedor, valor amortização e juros após a 25^{\underline{\mathrm{a}}} parcela OBSERVAÇÃO:
  • Faça com fórmulas e também com os passos a passos de como resolver na calculadora HP12C.
  • Monte uma tabela contendo os:
N Prestação Juros Amortização Saldo Devedor

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Dados fornecidos:
  • Valor do financiamento (valor presente): PV = R\$\,180.000,00.
  • Prazo: n = 36 meses.
  • Taxa de juros nominal por período: i = 1{,}3\%\,\text{ao mês} = 0{,}013ê (valor decimal).
  • Sistema: Francês (Sistema Price / SAF) — prestações constantes A.
O enunciado pede:
a) Encontrar a prestação fixa A.
b) Montar as pelo menos 5 primeiras prestações, com, para cada parcela N: Prestação (sempre A), Juros da parcela, Amortização da parcela e Saldo Devedor após a parcela. Pedir também instruções de como obter isso na calculadora HP12C.
c) Informar, após a 25^{\underline{\mathrm{a}}} parcela: saldo devedor, valor da amortização e juros correspondentes (novamente com procedimento na HP12C).
Anotações importantes (para usar nas fórmulas e nas contas):
  • Em SAF/Price a prestação fixa A é a anuidade que amortiza o empréstimo.
  • Juros de uma parcela k = saldo devedor imediatamente antes do pagamento \times i.
  • Amortização da parcela k = A - juros da parcela k.
  • Saldo devedor após o pagamento k = saldo devedor anterior - amortização da parcela k.

Passo 2

Fórmula da prestação fixa no Sistema Price (anuidade que desconta o PV):
Vou apresentar a fórmula, explicar as variáveis e por que ela funciona.
A fórmula da prestação fixa A (anuidade ordinária) é:
A \;=\; PV\cdot\frac{i}{1-(1+i)^{-n}}.
Explicando cada termo:
  • A é a prestação (valor fixo a pagar a cada período).
  • PV é o valor presente (o montante do empréstimo), aqui PV=R\$\,180.000.
  • i é a taxa por período em forma decimal, aqui i=0{,}013.
  • n é o número total de períodos, aqui n=36.
    Racional curto: a soma dos valores atuais das prestações (uma anuidade) deve igualar o empréstimo PV; isolando A chega-se à fórmula acima.
Aplicando os valores:
A \;=\; 180000\cdot\frac{0{,}013}{1-(1{,}013)^{-36}}.
Agora faço a conta numérica passo a passo (apresento resultado arredondado a centavos, que é o usual em contratos).
Cálculo (aproximação com arredondamento final):
  • Primeiro calcule (1{,}013)^{36}. Numericamente obtemos aproximadamente (1{,}013)^{36} \approx 1{,}59186.
  • Então (1{,}013)^{-36} \approx 0{,}62799.
  • Assim o denominador 1-(1{,}013)^{-36} \approx 0{,}37201.
  • O numerador PV\cdot i = 180000\cdot 0{,}013 = 2340.
  • Logo A \approx 2340 / 0{,}37201 \approx 6290{,}52.
Portanto a prestação fixa arredondada centavos é aproximadamente A = R\$\,6.290,52.

Passo 3

Como calcular A na HP12C (passo a passo)
Instruções práticas na HP12C para obter a prestação:
  1. Limpar registros financeiros (para começar limpo):
    • Pressione [f] seguido de [FIN] (ou em algumas HP12C: [f] [REG] / [f] [\text{CLEAR FIN}]).
  2. Digitar o número de períodos:
    • Tecle \;36\; depois [n].
  3. Digitar a taxa por período (em percentual):
    • Tecle \;1{,}3\; depois [i] (HP12C espera taxa em \% por período).
  4. Digitar o valor presente:
    • Tecle \;180000\; depois [PV].
  5. Definir o valor futuro:
    • Tecle \;0\; depois [FV].
  6. Calcular a prestação:
    • Pressione [PMT].
    • Observação: a HP12C normalmente devolve o sinal oposto (se PV positivo, PMT aparece negativo). Para ver o valor positivo, pressione [CHS] (change sign) se desejar.
      O resultado mostrado será a prestação A. Seguindo estes passos a HP12C dará A \approx R\$\,6.290,52.

Passo 4

Método para montar a tabela de amortização (Price) e como obter na HP12C
Te explico a lógica e, em seguida, mostro o modo de obter os números rapidamente.
Lógica (fórmulas de cada linha):
  • Saldo inicial B_0 = PV.
  • Juros da parcela k: \;J_k = B_{k-1}\cdot i.
  • Amortização da parcela k: \;Am_k = A - J_k.
  • Saldo após pagamento k: \;B_k = B_{k-1} - Am_k.
    Também existe a recorrência simples:
B_k = B_{k-1}(1+i) - A,
que é prática para iterar salários.
Na HP12C (amortização automática):
Depois de ter entrado n,i,PV e calculado PMT (conforme Passo 3), usa-se a função AMORT:
  • Para obter a amortização e juros do intervalo de parcelas p1 a p2:
    • Digite p1 [\text{ENTER}] p2 e pressione [g] seguido de [\text{AMORT}] (a tecla AMORT é a função secundária das teclas).
    • A HP12C mostrará o total de principal amortizado (PRN) para o intervalo.
    • Pressionando [\text{R/S}] sucessivas vezes a máquina alterna a exibição entre PRN (principal amortizado no intervalo), INT (juros totais do intervalo) e BAL (saldo devedor após o pagamento p2).
  • Assim, para obter os dados de uma única parcela k, use k [\text{ENTER}] k [g] [\text{AMORT}]; a primeira leitura será o principal amortizado na parcela k (ou seja Am_k), pressione [\text{R/S}] para ver os juros J_k, e pressione de novo para ver o saldo B_k.
Observação: se preferir fazer na mão (sem fun. amort da HP12C), calcule J_1 = PV\cdot i, Am_1 = A - J_1, B_1 = PV - Am_1 e repita.

Passo 5

Montagem manual (contas) das primeiras 5 prestações — explicação passo a passo e cálculo numérico
Vou fazer cada parcela com contas claras, arredondando centavos em cada linha (forma usual em contratos). Usarei A = R\$\,6.290,52 e i=0{,}013.
Parcela 1 (antes de pagar: saldo B_0=R\$\,180.000,00):
  • Juros: J_1 = B_0\cdot i = 180000\cdot 0{,}013 = R\$\,2.340{,}00.
  • Amortização: Am_1 = A - J_1 = 6290{,}52 - 2340{,}00 = R\$\,3.950{,}52.
  • Saldo após pagamento: B_1 = B_0 - Am_1 = 180000 - 3950{,}52 = R\$\,176.049{,}48.
Parcela 2 (saldo antes: B_1):
  • Juros: J_2 = 176049{,}48\cdot 0{,}013 \approx R\$\,2.288{,}64.
  • Amortização: Am_2 = 6290{,}52 - 2288{,}64 = R\$\,4.001{,}88.
  • Saldo: B_2 = 176049{,}48 - 4001{,}88 = R\$\,172.047{,}60.
Parcela 3:
  • Juros: J_3 = 172047{,}60\cdot 0{,}013 \approx R\$\,2.236{,}62.
  • Amortização: Am_3 = 6290{,}52 - 2236{,}62 = R\$\,4.053{,}90.
  • Saldo: B_3 = 172047{,}60 - 4053{,}90 = R\$\,167.993{,}70.
Parcela 4:
  • Juros: J_4 = 167993{,}70\cdot 0{,}013 \approx R\$\,2.183{,}92.
  • Amortização: Am_4 = 6290{,}52 - 2183{,}92 = R\$\,4.106{,}60.
  • Saldo: B_4 = 167993{,}70 - 4106{,}60 = R\$\,163.887{,}10.
Parcela 5:
  • Juros: J_5 = 163887{,}10\cdot 0{,}013 \approx R\$\,2.130{,}53.
  • Amortização: Am_5 = 6290{,}52 - 2130{,}53 = R\$\,4.159{,}99.
  • Saldo: B_5 = 163887{,}10 - 4159{,}99 = R\$\,159.727{,}11.
Esses valores formam a tabela pedida (vou repetir a tabela de forma compacta no campo de respostas).

Passo 6

Como obter as 5 primeiras parcelas na HP12C (passo a passo prático)
Depois de já ter calculado PMT com os passos do Passo 3:
Método 1 — usar a função AMORT repetidas vezes (mais prático):
  • Para a parcela 1: digite \;1\; [\text{ENTER}] \;1\; e pressione [g] [\text{AMORT}].
    • No visor aparece primeiro o valor do principal amortizado no intervalo (PRN) — aqui será Am_1.
    • Pressione [\text{R/S}] para ver os juros do intervalo (INT) — aqui será J_1.
    • Pressione [\text{R/S}] de novo para ver o saldo após a parcela (BAL) — aqui será B_1.
  • Para a parcela 2: digite 2 [\text{ENTER}] 2 [g] [\text{AMORT}] e repita as leituras (PRN, INT, BAL).
  • Repita para parcelas 3, 4 e 5.
Método 2 — iterando com a fórmula de recorrência (se preferir calcular sem AMORT):
  • Depois de calcular o PMT, você pode:
    • Ler o saldo atual com [BAL] (dependendo da versão) ou guardar PV e usar a fórmula de juros J_k = B_{k-1}\cdot i.
    • Atualizar B_k = B_{k-1}(1+i) - A repetidamente pressionando as teclas aritméticas (mas a função AMORT poupa trabalho).

Passo 7

Cálculo do saldo devedor e componentes na parcela 25 (fórmula e uso da HP12C)
Fórmula direta (valor teórico — saldo devedor como valor presente das prestações restantes):
  • O saldo devedor após a parcela k (ou seja, o valor atual do que falta pagar) pode ser obtido como o valor presente das (n-k) prestações restantes:
B_k \;=\; A\cdot\frac{1-(1+i)^{-(n-k)}}{i}.
Isto é: o saldo devedor é simplesmente o valor atual da anuidade que resta.
Aplicando para k=25 (restam n-k = 11 parcelas):
B_{25} \;=\; A\cdot\frac{1-(1+i)^{-11}}{i}.
Usando A=6290{,}52, i=0{,}013, numericamente obtemos (contas mostradas no Passo 5–6 com precisão iterativa):
B_{25} \approx R\$\,64.178{,}35.
Agora os componentes da parcela 25:
  • Juros da parcela 25: J_{25} = B_{24}\cdot i. (Note que B_{24} é o saldo antes de pagar a parcela 25.)
  • Amortização da parcela 25: Am_{25} = A - J_{25}.
Usando a iteração (ou usando AMORT na HP12C para o intervalo 24 25 ou para 25 25) obtemos:
  • Saldo antes de pagar a parcela 25: B_{24} \approx R\$\,69.564{,}53.
  • Juros da parcela 25: J_{25} = B_{24}\cdot 0{,}013 \approx R\$\,904{,}34.
  • Amortização 25: Am_{25} = 6290{,}52 - 904{,}34 \approx R\$\,5.386{,}18.
  • Saldo após a parcela 25: B_{25} = B_{24} - Am_{25} \approx R\$\,64.178{,}35.

Passo 8

Como obter os valores do item (c) na HP12C (passo a passo)
Após ter configurado n,i,PV e calculado PMT (veja Passo 3):
  • Para obter diretamente a amortização, juros e saldo relativos à única parcela 25:
    • Digite \;25\; [\text{ENTER}] \;25\; e pressione [g] [\text{AMORT}].
    • No visor aparecerá o valor PRN = amortização na parcela 25 (ou no intervalo 25–25).
    • Pressione [\text{R/S}] para ver INT = juros da parcela 25.
    • Pressione [\text{R/S}] de novo para ver BAL = saldo devedor após a parcela 25.
  • Esses três números correspondem exatamente a Am_{25}, J_{25} e B_{25} mostrados no Passo 7.

Resposta

a) Prestação fixa: R\$\,6.290,52
b) Tabela — primeiras 5 prestações (valores arredondados a centavos):
  1. N=1: Prestação = R\$\,6.290,52; Juros = R\$\,2.340,00; Amortização = R\$\,3.950,52; Saldo Devedor = R\$\,176.049,48
  2. N=2: Prestação = R\$\,6.290,52; Juros = R\$\,2.288,64; Amortização = R\$\,4.001,88; Saldo Devedor = R\$\,172.047,60
  3. N=3: Prestação = R\$\,6.290,52; Juros = R\$\,2.236,62; Amortização = R\$\,4.053,90; Saldo Devedor = R\$\,167.993,70
  4. N=4: Prestação = R\$\,6.290,52; Juros = R\$\,2.183,92; Amortização = R\$\,4.106,60; Saldo Devedor = R\$\,163.887,10
  5. N=5: Prestação = R\$\,6.290,52; Juros = R\$\,2.130,53; Amortização = R\$\,4.159,99; Saldo Devedor = R\$\,159.727,11
c) Valores na 25^{\underline{\mathrm{a}}} parcela (arredondados):
  • Saldo devedor após a 25^{\underline{\mathrm{a}}} parcela: B_{25} \approx R\$\,64.178,35
  • Juros na 25^{\underline{\mathrm{a}}} parcela: J_{25} \approx R\$\,904,34
  • Amortização na 25^{\underline{\mathrm{a}}} parcela: Am_{25} \approx R\$\,5.386,18

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