(1.5 pts) Considere os problemas de valor inicial.
Resolva pelo método de Taylor de ordem 2
Resolva pelo método de Taylor de ordem 2
Passo 1
O enunciado fornece o problema de valor inicial
no intervalo
com passo
.
O que precisa ser feito: aproximar a solução em pontos equiespaçados usando o método de Taylor de ordem 2 e apresentar os valores aproximados
correspondentes.]
O que precisa ser feito: aproximar a solução em pontos equiespaçados
Passo 2
Ideia do método de Taylor de ordem 2 (aula rápida e explicada):
Partimos da expansão de Taylor da solução em torno de
:
Partimos da expansão de Taylor da solução
Se truncarmos o termo
obtemos um esquema de ordem
:
Como a equação diferencial é
, podemos escrever
em termos de
usando derivadas parciais:
Aqui:
-
significa a derivada parcial de em relação a ; -
significa a derivada parcial de em relação a ; -
é novamente.
Portanto, a fórmula computável do método é
Explicando cada pedaço:
é a aproximação atual,
é a derivada atual, e o segundo termo com
corrige usando a informação da segunda derivada da solução.
Passo 3
Aplicando ao nosso
. Aqui
. Vamos calcular as parciais e
:
Substituindo na fórmula do método de Taylor de ordem 2:
Simplificando o termo de ordem
:
Portanto a expressão usada em cada passo será
Vou usar exatamente essa fórmula com
.
Passo 4
Dados iniciais e número de passos:
O intervalo
com passo
gera
passos:
para obter até
.
Agora aplicamos a fórmula iterativamente. Em cada passo eu mostro os cálculos dos termos separadamente para você conseguir replicar na prova sem calculadora (quando possível).
Agora aplicamos a fórmula iterativamente. Em cada passo eu mostro os cálculos dos termos separadamente para você conseguir replicar na prova sem calculadora (quando possível).
Cálculo de
(de
para
):
Substituindo na fórmula:
Logo
.
Passo 5
Cálculo de
(de
para
):
Aplicando a fórmula
Com
e
:
Calcule cada termo:
Somando:
Passo 6
Cálculo de
(de
para
):
Primeiro calcule
e
:
Agora a fórmula:
Calcule os termos:
Somando:
Arredondando razoavelmente para leitura:
.
Passo 7
Cálculo de
(de
para
):
Calcule
e
:
Aplicando a fórmula:
Termos:
Somando:
Arredondando:
.
Passo 8
Cálculo de
(de
para
):
Calcule
e
(usar aproximações com cuidado):
Aplicando a fórmula:
Termos:
Somando: