(1.5 pts) Considere os problemas de valor inicial.
Resolva pelo método de Taylor de ordem 2
\left\{\begin{array}{l} y^{\prime}=y^{2}+1 \\\ y(0)=0, \quad 0 \leq x \leq 1, \quad h=0,2 . \end{array}\right.

Passo 1

O enunciado fornece o problema de valor inicial
\begin{cases} y' = y^{2}+1,\\[4pt] y(0)=0, \end{cases}
no intervalo [0,1] com passo h=0,2.
O que precisa ser feito: aproximar a solução em pontos equiespaçados \;x_{n}=0,\,0{,}2,\,0{,}4,\,0{,}6,\,0{,}8,\,1{,}0\; usando o método de Taylor de ordem 2 e apresentar os valores aproximados y_{n} correspondentes.]

Passo 2

Ideia do método de Taylor de ordem 2 (aula rápida e explicada):
Partimos da expansão de Taylor da solução y(x) em torno de x_{n}:
y(x_{n}+h)=y(x_{n})+h\,y'(x_{n})+\frac{h^{2}}{2}\,y''(x_{n})+O(h^{3}).
Se truncarmos o termo O(h^{3}) obtemos um esquema de ordem 2:
y_{n+1}=y_{n}+h\,y'(x_{n})+\frac{h^{2}}{2}\,y''(x_{n}).
Como a equação diferencial é y'=f(x,y), podemos escrever y'' em termos de f usando derivadas parciais:
y''=\frac{d}{dx}f(x,y)=f_{x}(x,y)+f_{y}(x,y)\,y'.
Aqui:
  • f_{x} significa a derivada parcial de f em relação a x;
  • f_{y} significa a derivada parcial de f em relação a y;
  • y' é f(x,y) novamente.
    Portanto, a fórmula computável do método é
\boxed{\,y_{n+1}=y_{n}+h\,f(x_{n},y_{n})+\frac{h^{2}}{2}\bigl(f_{x}(x_{n},y_{n})+f_{y}(x_{n},y_{n})\,f(x_{n},y_{n})\bigr)\,}
Explicando cada pedaço: y_{n} é a aproximação atual, f(x_{n},y_{n}) é a derivada atual, e o segundo termo com h^{2}/2 corrige usando a informação da segunda derivada da solução.

Passo 3

Aplicando ao nosso f. Aqui f(x,y)=y^{2}+1. Vamos calcular as parciais e y'':
f_{x}(x,y)=0\quad\text{(pois \(f\) não depende de \(x\))},ã
f_{y}(x,y)=2y,
y''=f_{x}+f_{y}f=0+(2y)(y^{2}+1)=2y(y^{2}+1)=2y^{3}+2y.
Substituindo na fórmula do método de Taylor de ordem 2:
y_{n+1}=y_{n}+h\,(y_{n}^{2}+1)+\frac{h^{2}}{2}\,(2y_{n}^{3}+2y_{n}).
Simplificando o termo de ordem h^{2}:
\frac{h^{2}}{2}(2y_{n}^{3}+2y_{n})=h^{2}(y_{n}^{3}+y_{n}).
Portanto a expressão usada em cada passo será
\boxed{\,y_{n+1}=y_{n}+h\,(y_{n}^{2}+1)+h^{2}\,(y_{n}^{3}+y_{n})\,.}
Vou usar exatamente essa fórmula com h=0,2.

Passo 4

Dados iniciais e número de passos:
y_{0}=y(0)=0,\qquad h=0,2.
O intervalo [0,1] com passo 0,2 gera N=\dfrac{1-0}{0,2}=5 passos: n=0,1,2,3,4 para obter até x_{5}=1{,}0.
Agora aplicamos a fórmula iterativamente. Em cada passo eu mostro os cálculos dos termos separadamente para você conseguir replicar na prova sem calculadora (quando possível).
Cálculo de y_{1} (de x_{0}=0 para x_{1}=0{,}2):
y_{0}=0.
Substituindo na fórmula:
y_{1}=0+0{,}2(0^{2}+1)+0{,}2^{2}(0^{3}+0)=0+0{,}2\cdot1+0=0{,}2.
Logo y_{1}=0{,}2.

Passo 5

Cálculo de y_{2} (de x_{1}=0{,}2 para x_{2}=0{,}4):
y_{1}=0{,}2,\qquad y_{1}^{2}=0{,}04,\qquad y_{1}^{3}=0{,}008.
Aplicando a fórmula
y_{2}=y_{1}+h(y_{1}^{2}+1)+h^{2}(y_{1}^{3}+y_{1}).
Com h=0{,}2 e h^{2}=0{,}04:
y_{2}=0{,}2+0{,}2(0{,}04+1)+0{,}04(0{,}008+0{,}2).
Calcule cada termo:
0{,}2(1{,}04)=0{,}208,\qquad 0{,}04(0{,}208)=0{,}00832.
Somando:
y_{2}=0{,}2+0{,}208+0{,}00832=0{,}41632.

Passo 6

Cálculo de y_{3} (de x_{2}=0{,}4 para x_{3}=0{,}6):
y_{2}=0{,}41632.
Primeiro calcule y_{2}^{2} e y_{2}^{3}:
y_{2}^{2}=0{,}41632^{2}=0{,}1733223424,
y_{2}^{3}=0{,}1733223424\times0{,}41632\approx0{,}072157557588.
Agora a fórmula:
y_{3}=0{,}41632+0{,}2(0{,}1733223424+1)+0{,}04(0{,}072157557588+0{,}41632).
Calcule os termos:
0{,}2(1{,}1733223424)=0{,}23466446848,
0{,}04(0{,}488477557588)=0{,}01953910230352.
Somando:
y_{3}=0{,}41632+0{,}23466446848+0{,}01953910230352\approx0{,}67052357078352.
Arredondando razoavelmente para leitura: y_{3}\approx0{,}6705235708.

Passo 7

Cálculo de y_{4} (de x_{3}=0{,}6 para x_{4}=0{,}8):
y_{3}\approx0{,}67052357078352.
Calcule y_{3}^{2} e y_{3}^{3}:
y_{3}^{2}\approx0{,}449601858979224,
y_{3}^{3}=y_{3}^{2}\cdot y_{3}\approx0{,}3014686484.
Aplicando a fórmula:
y_{4}=y_{3}+0{,}2(y_{3}^{2}+1)+0{,}04(y_{3}^{3}+y_{3}).
Termos:
0{,}2(1{,}449601858979224)=0{,}2899203717958448,
0{,}04(0{,}3014686484+0{,}67052357078352)=0{,}04(0{,}97199221918352)\approx0{,}0388796887673408.
Somando:
y_{4}\approx0{,}67052357078352+0{,}2899203717958448+0{,}0388796887673408\approx0{,}9993236313467056.
Arredondando: y_{4}\approx0{,}9993236313.

Passo 8

Cálculo de y_{5} (de x_{4}=0{,}8 para x_{5}=1{,}0):
y_{4}\approx0{,}9993236313467056.
Calcule y_{4}^{2} e y_{4}^{3} (usar aproximações com cuidado):
y_{4}^{2}\approx0{,}9986477203911112,
y_{4}^{3}\approx0{,}997972267140\quad(\text{usando }(1-\varepsilon)^{3}\text{ com }\varepsilon\approx0{,}00067637).
Aplicando a fórmula:
y_{5}=y_{4}+0{,}2(y_{4}^{2}+1)+0{,}04(y_{4}^{3}+y_{4}).
Termos:
0{,}2(1{,}9986477203911112)=0{,}39972954407822224,
0{,}04(0{,}997972267140+0{,}9993236313467056)=0{,}04(1{,}9972958984867056)\approx0{,}07989183593946822.
Somando:
y_{5}\approx0{,}9993236313467056+0{,}39972954407822224+0{,}07989183593946822\approx1{,}478945011364396.

Resposta

y(0)=0
y(0{,}2)\approx0{,}2
y(0{,}4)\approx0{,}41632
y(0{,}6)\approx0{,}6705235708
y(0{,}8)\approx0{,}9993236313
y(1{,}0)\approx1{,}4789450114

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