( 1,5 pts) Considere os dados de um experimento conforme a tabela. Usando o método dos mínimos quadrados, ajustar os dados com uma função exponencial.
-9
-6
-4
-2
0
2
4
30,1
10,1
8,9
5,9
5,0
3,9
4,01
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-9 | -6 | -4 | -2 | 0 | 2 | 4 |
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30,1 | 10,1 | 8,9 | 5,9 | 5,0 | 3,9 | 4,01 |
Passo 1
O enunciado pede: ajustar os dados da tabela por uma função exponencial usando o método dos mínimos quadrados. Os dados fornecidos na tabela (peguei esses valores da tabela do enunciado) são:
- Valores de
: . - Valores de
(a ser ajustada): .
A pergunta é: encontrar uma função da forma exponencial que melhor ajuste esses dados segundo mínimos quadrados. Não há outras perguntas.
Passo 2
Ideia do método (explicação didática, sem pular etapas)
- Vamos ajustar por um modelo exponencial da forma
onde
e
são parâmetros desconhecidos que queremos estimar.
- Esse modelo é não linear em
e , mas podemos linearizá-lo tomando logaritmo natural:
- Definindo
e , obtemos o modelo linear
que é um caso clássico de regressão linear simples. Então vamos aplicar mínimos quadrados nessa forma linear para estimar
e
. Depois recuperamos
.
- Para regressão linear com
pontos , as fórmulas normais para os estimadores por mínimos quadrados (que vêm de minimizar a soma dos quadrados dos resíduos) são:
Aqui cada soma é sobre os
pontos; explicando as variáveis:
-
é o número de pontos (aqui ); -
são as abscissas (os da tabela); -
são os valores transformados .
Depois obtemose o ajuste final será .
Passo 3
Calcular
para cada ponto (mostrando os valores aproximados; usei logaritmo natural):
Obs.: esses
foram calculados a partir dos
da tabela do enunciado.
Passo 4
Calcular as somas necessárias para aplicar as fórmulas:
- Número de pontos:
. - Soma das abscissas:
- Soma dos
:
- Soma dos quadrados das abscissas:
- Soma dos produtos
:
Passo 5
Calcular o coeficiente
usando a fórmula da regressão linear:
Substituindo os números:
Portanto
Passo 6
Calcular
com a fórmula
Substituindo:
Agora recuperamos
por exponenciação:
Passo 7
Interpretação final dos parâmetros (explicando o que significam)
- Obtivemos
e . - Como
, isso corresponde a . - O parâmetro
é o valor de quando no modelo (de forma idealizada); o parâmetro controla a taxa de decaimento/explosão exponencial: aqui indica decaimento exponencial conforme cresce.