( 1,5 pts) Considere os dados de um experimento conforme a tabela. Usando o método dos mínimos quadrados, ajustar os dados com uma função exponencial.
x -9 -6 -4 -2 0 2 4
f(x) 30,1 10,1 8,9 5,9 5,0 3,9 4,01

Passo 1

O enunciado pede: ajustar os dados da tabela por uma função exponencial usando o método dos mínimos quadrados. Os dados fornecidos na tabela (peguei esses valores da tabela do enunciado) são:
  • Valores de x: -9,\,-6,\,-4,\,-2,\,0,\,2,\,4.
  • Valores de f(x) (a ser ajustada): 30{,}1,\;10{,}1,\;8{,}9,\;5{,}9,\;5{,}0,\;3{,}9,\;4{,}01.
A pergunta é: encontrar uma função da forma exponencial que melhor ajuste esses dados segundo mínimos quadrados. Não há outras perguntas.

Passo 2

Ideia do método (explicação didática, sem pular etapas)
  • Vamos ajustar por um modelo exponencial da forma
f(x)=A e^{B x},
onde A e B são parâmetros desconhecidos que queremos estimar.
  • Esse modelo é não linear em A e B, mas podemos linearizá-lo tomando logaritmo natural:
\ln f(x)=\ln A + B x.
  • Definindo y=\ln f(x) e a=\ln A, obtemos o modelo linear
y = a + B x,
que é um caso clássico de regressão linear simples. Então vamos aplicar mínimos quadrados nessa forma linear para estimar a e B. Depois recuperamos A=\mathrm{e}^{a}.
  • Para regressão linear com n pontos (x_i,y_i), as fórmulas normais para os estimadores por mínimos quadrados (que vêm de minimizar a soma dos quadrados dos resíduos) são:
B = \frac{n\sum_i x_i y_i - \left(\sum_i x_i\right)\left(\sum_i y_i\right)}{n\sum_i x_i^2 - \left(\sum_i x_i\right)^2},
a = \frac{1}{n}\left(\sum_i y_i - B\sum_i x_i\right).
Aqui cada soma é sobre os n pontos; explicando as variáveis:
  • n é o número de pontos (aqui n=7);
  • x_i são as abscissas (os x da tabela);
  • y_i são os valores transformados y_i=\ln(f(x_i)).
    Depois obtemos A=\mathrm{e}^{a} e o ajuste final será f(x)=A\mathrm{e}^{B x}.

Passo 3

Calcular y_i=\ln(f(x_i)) para cada ponto (mostrando os valores aproximados; usei logaritmo natural):
\begin{array}{c|c|c} i & x_i & y_i=\ln(f(x_i))\\hline 1 & -9 & \ln(30{,}1)\approx 3{,}40453\\\\ 2 & -6 & \ln(10{,}1)\approx 2{,}31254\\\\ 3 & -4 & \ln(8{,}9)\approx 2{,}18608\\\\ 4 & -2 & \ln(5{,}9)\approx 1{,}77496\\\\ 5 & 0 & \ln(5{,}0)\approx 1{,}60944\\\\ 6 & 2 & \ln(3{,}9)\approx 1{,}36097\\\\ 7 & 4 & \ln(4{,}01)\approx 1{,}38879 \end{array}
Obs.: esses y_i foram calculados a partir dos f(x) da tabela do enunciado.

Passo 4

Calcular as somas necessárias para aplicar as fórmulas:
  • Número de pontos: n=7.
  • Soma das abscissas:
\sum_i x_i = -9-6-4-2+0+2+4 = -15.
  • Soma dos y_i:
\sum_i y_i \approx 3{,}40453+2{,}31254+2{,}18608+1{,}77496+1{,}60944+1{,}36097+1{,}38879 \approx 14{,}03730.
  • Soma dos quadrados das abscissas:
\sum_i x_i^2 = (-9)^2+(-6)^2+(-4)^2+(-2)^2+0^2+2^2+4^2 =157.
  • Soma dos produtos x_i y_i:
\sum_i x_i y_i \approx (-9)\cdot3{,}40453 + (-6)\cdot2{,}31254 + (-4)\cdot2{,}18608 + (-2)\cdot1{,}77496 + 0\cdot1{,}60944 + 2\cdot1{,}36097 + 4\cdot1{,}38879
\qquad\approx -30{,}64077 -13{,}87521 -8{,}74432 -3{,}54992 +0 +2{,}72194 +5{,}55516 \approx -48{,}53312.

Passo 5

Calcular o coeficiente B usando a fórmula da regressão linear:
B = \frac{n\sum_i x_i y_i - \left(\sum_i x_i\right)\left(\sum_i y_i\right)}{n\sum_i x_i^2 - \left(\sum_i x_i\right)^2}.
Substituindo os números:
\text{numerador} = 7\cdot(-48{,}53312) - (-15)\cdot14{,}03730 \approx -339{,}73184 +210{,}55950 \approx -129{,}17234,
\text{denominador} = 7\cdot157 - (-15)^2 = 1{,}099 -225 = 874.
Portanto
B \approx \frac{-129{,}17234}{874} \approx -0{,}147795.

Passo 6

Calcular a=\ln A com a fórmula
a = \frac{1}{n}\left(\sum_i y_i - B\sum_i x_i\right).
Substituindo:
B\sum_i x_i \approx (-0{,}147795)\cdot(-15) \approx 2{,}216925,
a \approx \frac{1}{7}\left(14{,}03730 - 2{,}216925\right) \approx \frac{11{,}820375}{7} \approx 1{,}688625.
Agora recuperamos A por exponenciação:
A = \mathrm{e}^{a} \approx \mathrm{e}^{1{,}688625} \approx 5{,}41\\ \text{(aproximadamente)}.

Passo 7

Interpretação final dos parâmetros (explicando o que significam)
  • Obtivemos a\approx 1{,}688625 e B\approx -0{,}147795.
  • Como a=\ln A, isso corresponde a A\approx 5{,}41.
  • O parâmetro A é o valor de f(x) quando x=0 no modelo A e^{B x} (de forma idealizada); o parâmetro B controla a taxa de decaimento/explosão exponencial: aqui B<0 indica decaimento exponencial conforme x cresce.

Resposta

\displaystyle \hat f(x)=5{,}41\;e^{-0{,}1478\,x}

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