(2,0 pts) Considere uma reta tangente à curva e denotem por e , os pontos de interseção que esta reta faz com os eixos x e y, respectivamente. Prove que é sempre constante.
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos que, ao traçar a reta tangente à curva
num ponto genérico e chamar e suas interseções com os eixos, o valor de é sempre o mesmo, ou seja, constante.
Passo 2
Aplicamos diferenciação implícita a
sabendo que é constante. Logo,
Isolando obtemos
Passo 3
No ponto da curva vale e a inclinação da tangente é
A equação da reta em forma ponto-inclinação é
y - y0 = m,(x - x0)
Passo 4
Para encontrar A=(a,0) fazemos y=0:
0 - y0 = m,(a - x0) Longrightarrow a = x0 - y0m
Como m=-tfracraizy0raizx0, segue
-y0m = y0raizx0raizy0 =raizx0,raizy0,
portanto
a = x0 + raizx0,raizy0
Para B=(0,b) fazemos x=0:
b - y0 = m,(0 - x0) =-m,x0 =+raizx0,raizy0,
logo
b = y0 + raizx0,raizy0
Passo 5
Somando a e b:
a + b = l(x0 + raizx0,raizy0r) + l(y0 + raizx0,raizy0r) = x0 + y0 + 2,raizx0,raizy0