(2,0 pts) Considere uma reta tangente à curva raizx+raizy=raizc e denotem por A=(a, 0) e B=(0, b), os pontos de interseção que esta reta faz com os eixos x e y, respectivamente. Prove que a+b é sempre constante.

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos que, ao traçar a reta tangente à curva
raizx+raizy=raizc
num ponto genérico P=(x0,y0) e chamar A=(a,0) e B=(0,b) suas interseções com os eixos, o valor de a+b é sempre o mesmo, ou seja, constante.

Passo 2

Aplicamos diferenciação implícita a
raizx+raizy=raizc,
sabendo que raizc é constante. Logo,
ddxl(raizxr)+ddxl(raizyr) =0 Longrightarrow 12raizx+12raizydydx=0
Isolando dydx obtemos
dydx=-raizyraizx

Passo 3

No ponto P=(x0,y0) da curva vale raizx0+raizy0=raizc e a inclinação da tangente é
m=dydx|(x0,y0) =-raizy0raizx0
A equação da reta em forma ponto-inclinação é
y - y0 = m,(x - x0)

Passo 4

Para encontrar A=(a,0) fazemos y=0:
0 - y0 = m,(a - x0) Longrightarrow a = x0 - y0m
Como m=-tfracraizy0raizx0, segue
-y0m = y0raizx0raizy0 =raizx0,raizy0,
portanto
a = x0 + raizx0,raizy0
Para B=(0,b) fazemos x=0:
b - y0 = m,(0 - x0) =-m,x0 =+raizx0,raizy0,
logo
b = y0 + raizx0,raizy0

Passo 5

Somando a e b:
a + b = l(x0 + raizx0,raizy0r) + l(y0 + raizx0,raizy0r) = x0 + y0 + 2,raizx0,raizy0
Mas
x0 + y0 + 2,raizx0,raizy0 =(raizx0+raizy0)^2 =(raizc)^2 =c,
que é constante. Assim a+b=c independe do ponto de tangência.

Resposta

a+b=c

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