Calcule os limites
lim (x, y) (0,0) e^y sin xx

Passo 1

O enunciado pede o limite da função
f(x,y)=e^ysin xx
quando (x,y)to(0,0). O conteúdo aqui é cálculo de limite em várias variáveis, e vamos usar o fato de que dá para separar a dependência de x e de y por fatoração.

Passo 2

Observe que
f(x,y) = e^y,sin xx
Logo podemos pensar no produto de duas funções: e^y que depende só de y e sin xx que depende só de x.

Passo 3

Sabemos do cálculo unidimensional que
limxto0sin xx=1
Isto é um limite clássico e vale independentemente de como y se comporta, desde que xto0.

Passo 4

Também é clássico que
limyto0e^y=1
Assim, conforme (x,y)to(0,0) tem-se simultaneamente xto0 e yto0.

Passo 5

Como o limite do produto é o produto dos limites (quando todos existem e são finitos), temos
lim(x,y)to(0,0)f(x,y) =l(limyto0e^yr),l(limxto0tfracsin xxr) =1cdot1=1

Resposta

1

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