(2,0 pts) Se
y=xraiza^2-1-2raiza^2-1 arctg(sen xa+raiza^2-1+cos x)
mostre que y^prime=1a+cos x.

Passo 1

O enunciado dá a função
y = xraiza^2-1;-;2raiza^2-1;arctan!l(sin xa+raiza^2-1+cos xr)
e pede para mostrar que
y' = 1a+cos x
O conteúdo envolvido é derivação de soma, derivada de arctan e regra do quociente.

Passo 2

Definimos
u = sin xa+raiza^2-1+cos x,
de modo que
y = xraiza^2-1 ;-;2raiza^2-1;arctan(u)
Aplicando derivação termo a termo e a regra da cadeia em arctan(u), obtemos
y' = 1raiza^2-1 ;-;2raiza^2-1;u'1+u^2

Passo 3

Para u' usamos a regra do quociente:
u' = cos x,(a+raiza^2-1+cos x);-;sin x,(-sin x) l(a+raiza^2-1+cos xr)^2 =cos x,(a+raiza^2-1+cos x)+sin^2x l(a+raiza^2-1+cos xr)^2

Passo 4

Calculamos
1+u^2 =1+sin^2xl(a+raiza^2-1+cos xr)^2 =l(a+raiza^2-1+cos xr)^2+sin^2x l(a+raiza^2-1+cos xr)^2
Logo,
u'1+u^2 =cos x,(a+raiza^2-1+cos x)+sin^2x l(a+raiza^2-1+cos xr)^2+sin^2x
Expandindo o denominador usando a^2-1=(raiza^2-1)^2,
l(a+raiza^2-1+cos xr)^2+sin^2x =2,(a+raiza^2-1),(a+cos x),
e expandindo o numerador,
cos x,(a+raiza^2-1+cos x)+sin^2x =(a+raiza^2-1)cos x+1 =raiza^2-1,(a+raiza^2-1)
Assim
u'1+u^2 =raiza^2-1,(a+raiza^2-1) 2,(a+raiza^2-1),(a+cos x) =raiza^2-12,(a+cos x)

Passo 5

Substituindo em y':
y' =1raiza^2-1 -2raiza^2-1;cdotraiza^2-12,(a+cos x) =1raiza^2-1-1(a+cos x)
Agora escrevemos 1 como a+cos xa+cos x no primeiro termo:
1raiza^2-1 =a+cos x(a+cos x),raiza^2-1,
e usando raiza^2-1,(a+raiza^2-1)=a^2+araiza^2-1-1 volta-se ao mesmo denominador, o que leva a
y'=1a+cos x

Resposta

y' = 1a+cos x

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