Responda verdadeiro, e justifique, ou falsoe forneça um contraexemplo:
  • (0,8 pts) Se f(x) e g(x) têm série de Fourier, então (f+g)(x) também tem série de Fourier.

Passo 1

O enunciado diz que, se duas funções periódicas f(x) e g(x) têm série de Fourier, então a soma h(x)=f(x)+g(x) também teria série de Fourier. O conteúdo envolvido é a linearidade do desenvolvimento em série de Fourier, e vamos usar a definição dos coeficientes de Fourier para provar isso.

Passo 2

A série de Fourier de uma função periódica p(x) de período 2π é dada por p(x)=a₀/2 + Σ_{n=1}^∞ [a_n cos(nx) + b_n sin(nx)], onde
[ \ a_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} p(x)\cos(nx),dx, \quad b_n = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} p(x)\sin(nx),dx. ]

Passo 3

Como f e g têm séries de Fourier, seus coeficientes (a_n^f, b_n^f) e (a_n^g, b_n^g) existem e são finitos. Para h(x)=f(x)+g(x), calculemos seus coeficientes:
[ \ a_n^h = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} (f(x)+g(x))\cos(nx),dx = \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} f(x)\cos(nx),dx + \frac{1}{\pi} \int_{-\pi}^{\pi} g(x)\cos(nx),dx = a_n^f + a_n^g, ]
de modo análogo
[ \ b_n^h = b_n^f + b_n^g. ]

Passo 4

Portanto os coeficientes de Fourier de h são a soma dos coeficientes de f e g, e logo h(x)=f(x)+g(x) também admite uma série de Fourier, obtida somando termo a termo as séries de f e g.

Resposta

Verdadeiro. Pela linearidade dos coeficientes de Fourier, a série de Fourier de f+g é simplesmente a soma das séries de f e de g, garantindo a existência da série para a função soma.

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