As funções f e g, dadas acima, são contínuas? Justifique, com detalhes, sua resposta.
Passo 1
O enunciado nos dá duas funções definidas por partes, envolvendo uma função racional tfrac1x-1 e um polinômio -x^2+4. O conteúdo é continuidade de funções definidas por partes. Para resolver, vamos usar que
funções racionais são contínuas em seu domínio,
polinômios são contínuos em R,
numa transição em x=1 devemos checar limites laterais e valor da função.
Passo 2
Analisando f:
Para x<1, f(x)=1x-1 e essa função é contínua em (-infty,1) (não há zero do denominador exceto em x=1).
Para x>1, f(x)=-x^2+4 é polinômio, logo contínuo em (1,infty).
Assim f é contínua em todo ponto de seu domínio (-infty,1)cup(1,infty).
Passo 3
Verificando x=1 em f:
f não está definida em x=1, então não podemos falar de continuidade lá; apenas observamos que limxto1^-f(x)=limxto1^-tfrac1x-1=-infty
e limxto1^+f(x)=limxto1^+(-x^2+4)=-1+4=3.
Não há limite finito nem definição em x=1.
Passo 4
Analisando g:
Para x<1, é idêntica a f(x)=tfrac1x-1, contínua em (-infty,1).
Para x>=1, g(x)=-x^2+4, contínua em [1,infty).
Logo g é contínua em (-infty,1) e em (1,infty) automaticamente.
Passo 5
Verificando x=1 em g:
O valor definido é g(1)=-1^2+4=3.
O limite pela esquerda é limxto1^-g(x)=limxto1^-tfrac1x-1=-infty,
portanto o limite não existe como número real e nem coincide com g(1)=3.
Logo g é descontínua em x=1.
Resposta
f é contínua em seu domínio (-infty,1)cup(1,infty) e não está definida em x=1. g é contínua em (-infty,1)cup(1,infty) mas sofre descontinuidade em x=1 pois limxto1^-g(x)=-inftyneq g(1)=3.