4 (2 pts.) Considere as seguintes funções:
f(x)=ccc 1x-1 & se & x<1 -x^2+4 & se & x>1 e g(x)=cll 1x-1 & se & x<1 -x^2+4 & se & x >= 1
As funções f e g, dadas acima, são contínuas? Justifique, com detalhes, sua resposta.

Passo 1

O enunciado nos dá duas funções definidas por partes, envolvendo uma função racional tfrac1x-1 e um polinômio -x^2+4. O conteúdo é continuidade de funções definidas por partes. Para resolver, vamos usar que
  1. funções racionais são contínuas em seu domínio,
  2. polinômios são contínuos em R,
  3. numa transição em x=1 devemos checar limites laterais e valor da função.

Passo 2

Analisando f:
  • Para x<1, f(x)=1x-1 e essa função é contínua em (-infty,1) (não há zero do denominador exceto em x=1).
  • Para x>1, f(x)=-x^2+4 é polinômio, logo contínuo em (1,infty).
    Assim f é contínua em todo ponto de seu domínio (-infty,1)cup(1,infty).

Passo 3

Verificando x=1 em f:
  • f não está definida em x=1, então não podemos falar de continuidade lá; apenas observamos que
    limxto1^-f(x)=limxto1^-tfrac1x-1=-infty
    e
    limxto1^+f(x)=limxto1^+(-x^2+4)=-1+4=3.
    Não há limite finito nem definição em x=1.

Passo 4

Analisando g:
  • Para x<1, é idêntica a f(x)=tfrac1x-1, contínua em (-infty,1).
  • Para x>=1, g(x)=-x^2+4, contínua em [1,infty).
    Logo g é contínua em (-infty,1) e em (1,infty) automaticamente.

Passo 5

Verificando x=1 em g:
  • O valor definido é g(1)=-1^2+4=3.
  • O limite pela esquerda é
    limxto1^-g(x)=limxto1^-tfrac1x-1=-infty,
    portanto o limite não existe como número real e nem coincide com g(1)=3.
    Logo g é descontínua em x=1.

Resposta

f é contínua em seu domínio (-infty,1)cup(1,infty) e não está definida em x=1.
g é contínua em (-infty,1)cup(1,infty) mas sofre descontinuidade em x=1 pois
limxto1^-g(x)=-inftyneq g(1)=3.

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