Represente por binomnk o coeficiente binomial n !k !(n-k) !, onde k e n são números inteiros positivos e k <= n. Mostre que:
(a) binomnk-1+binomnk=binomn+1k ;

Passo 1

O enunciado define o coeficiente binomial
binomnk = n!k!(n-k)!
e pede para mostrar a identidade de Pascal
binomnk-1 + binomnk = binomn+1k,
O conteúdo é a interpretação combinatória e a manipulação de fatoriais.

Passo 2

Prova combinatória: considere um conjunto de n+1 elementos e fixe um elemento especial x. Para escolher um subconjunto de tamanho k de todo o conjunto de n+1 elementos, há duas possibilidades:
  1. O subconjunto contém x. Então precisamos escolher os outros k-1 elementos dentre os n restantes, o que pode ser feito de binomnk-1 maneiras.
  2. O subconjunto não contém x. Então escolhemos todos os k elementos dentre os n restantes, o que pode ser feito de binomnk maneiras.
    Somando as duas contagens, obtemos
binomnk-1 + binomnk = número total de formas de escolher (k) de (n+1) = binomn+1k, ú

Passo 3

Prova algébrica: partindo da definição, escrevemos
binomnk-1 + binomnk = n!(k-1)!,(n-k+1)! ;+; n!k!,(n-k)!,
Colocando num mesmo denominador k!,(n-k+1)!, temos
n!,kk!,(n-k+1)! ;+; n!,(n-k+1)k!,(n-k+1)! = n!,l(k + (n-k+1)r)k!,(n-k+1)! = (n+1),n!k!,(n+1-k)! = (n+1)!k!,( (n+1)-k)! = binomn+1k,

Resposta

binomnk-1 + binomnk = binomn+1k

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