Represente por
o coeficiente binomial
, onde
e
são números inteiros positivos e
. Mostre que:
(a)
(a)
Passo 1
O enunciado define o coeficiente binomial
e pede para mostrar a identidade de Pascal
O conteúdo é a interpretação combinatória e a manipulação de fatoriais.
Passo 2
Prova combinatória: considere um conjunto de
elementos e fixe um elemento especial
. Para escolher um subconjunto de tamanho
de todo o conjunto de
elementos, há duas possibilidades:
- O subconjunto contém
. Então precisamos escolher os outros elementos dentre os restantes, o que pode ser feito de maneiras. - O subconjunto não contém
. Então escolhemos todos os elementos dentre os restantes, o que pode ser feito de maneiras.
Somando as duas contagens, obtemos
Passo 3
Prova algébrica: partindo da definição, escrevemos
Colocando num mesmo denominador
, temos