7. (1,0 pt) - Área com integral dupla

Use integral dupla para calcular a área da região delimitada por:
|x|=y^{2} \quad \text { e } \quad|x|=y^{2}+4

Passo 1

O enunciado pede a área da região
y^2 \le |x| \le y^2 + 4
usando integral dupla. O conteúdo é cálculo de área por integração em coordenadas cartesianas, escrevendo a região em forma de desigualdades e integrando em x e y.

Passo 2

Para cada valor fixo de y\in\mathbb{R}, a condição y^2\le |x|\le y^2+4 significa dois intervalos em x:
– no ramo direito: y^2\le x\le y^2+4,
– no ramo esquerdo: -\,\bigl(y^2+4\bigr)\le x\le -\,y^2.
Cada um desses intervalos tem comprimento 4, então a largura total horizontal, para cada y, é
4 + 4 = 8.

Passo 3

Como y varia por todo o eixo real, a área é
A \;=\; \int_{y=-\infty}^{\infty}\int_{\substack{y^2\le|x|\le y^2+4}}dx\,dy \;=\;\int_{-\infty}^{\infty}8\,dy \;=\;8\int_{-\infty}^{\infty}1\,dy.
Esse integral diverge, pois \int_{-\infty}^{\infty}1\,dy = +\infty.

Resposta

A área da região é infinita.

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