Dada a parábola
,
(a) Determine a equação reduzida, o vértice e o foco.
(b) Determine uma equação da diretriz e esboce seu gráfico.
(a) Determine a equação reduzida, o vértice e o foco.
(b) Determine uma equação da diretriz e esboce seu gráfico.
Passo 1
O enunciado dá a parábola
ou seja
O conteúdo é seções cônicas, em particular parábolas de eixo vertical. Vamos escrever na forma reduzida
para identificar o parâmetro
, depois achar vértice, foco e diretriz.
Passo 2
Multiplicando ambos os lados por 16, obtemos a forma reduzida clássica:
Comparando com
vemos que
Passo 3
Isolando
, vem
Passo 4
Na forma
com vértice
, temos aqui
e
. Logo o vértice é
Passo 5
Para parábolas de eixo vertical, o foco fica em
. Assim o foco é
Passo 6
A diretriz de uma parábola
é a reta
Substituindo
, obtemos
Passo 7
Esboço do gráfico:
- Vértice em
. - Eixo de simetria é o eixo
. - Parâmetro
faz o foco em acima do vértice. - A parábola abre para cima e a diretriz
fica abaixo do vértice.
Resposta
(a) Equação reduzida:
vértice
e foco
.
(b) Diretriz:
(b) Diretriz: