(3,0 pts) Dada a parábola x^216-y=0,
(a) Determine a equação reduzida, o vértice e o foco.
(b) Determine uma equação da diretriz e esboce seu gráfico.

Passo 1

O enunciado dá a parábola
x^216 - y = 0,
ou seja
y = x^216
O conteúdo é seções cônicas, em particular parábolas de eixo vertical. Vamos escrever na forma reduzida x^2=4p,y para identificar o parâmetro p, depois achar vértice, foco e diretriz.

Passo 2

Multiplicando ambos os lados por 16, obtemos a forma reduzida clássica:
x^2 = 16,y
Comparando com
x^2 = 4p,y,
vemos que
4p = 16

Passo 3

Isolando p, vem
p = 164 = 4

Passo 4

Na forma x^2=4p(y-k) com vértice (h,k), temos aqui h=0 e k=0. Logo o vértice é
(0,0)

Passo 5

Para parábolas de eixo vertical, o foco fica em (h,,k+p). Assim o foco é
l(0,,0+4r) = (0,4)

Passo 6

A diretriz de uma parábola x^2=4p,y é a reta
y = -p
Substituindo p=4, obtemos
diretriz: y = -4

Passo 7

Esboço do gráfico:
  • Vértice em (0,0).
  • Eixo de simetria é o eixo y.
  • Parâmetro p=4 faz o foco em (0,4) acima do vértice.
  • A parábola abre para cima e a diretriz y=-4 fica abaixo do vértice.

Resposta

(a) Equação reduzida:
x^2 = 16,y,
vértice (0,0) e foco (0,4).
(b) Diretriz:
y = -4

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