Para cada um dos sitemas lineares homogêneos AX=0 abaixo, determine o espaço solução e um conjunto de geradores:
A=(ccc1 & 2 & 1 0 & -1 & -1 3 & 2 & -1).

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de sistemas lineares! A questão nos pede para encontrar o espaço solução do sistema homogêneo AX = 0 e um conjunto de geradores para esse espaço. Para isso, vamos usar conhecimentos de álgebra linear, como redução de matrizes e encontrar a solução geral do sistema.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz aumentada do sistema AX = 0 :
( ccc|c 1 & 2 & 1 & 0 0 & -1 & -1 & 0 3 & 2 & -1 & 0 )

Passo 3

Agora, vamos usar a eliminação de Gauss para reduzir essa matriz. Começamos com a primeira coluna. Já temos um 1 na posição (1,1), então vamos usar essa linha para eliminar os elementos abaixo dela.
Subtraindo 3 vezes a primeira linha da terceira linha:
R3 = R3 - 3R1 Rightarrow ( ccc|c 1 & 2 & 1 & 0 0 & -1 & -1 & 0 0 & -4 & -4 & 0 )

Passo 4

Agora, vamos simplificar a terceira linha. Observamos que a terceira linha é múltiplo da segunda linha. Dividindo a segunda linha por -1:
R2 = -R2 Rightarrow ( ccc|c 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & -4 & -4 & 0 )

Passo 5

Agora, vamos eliminar o elemento abaixo do pivô na segunda coluna. Para isso, somamos 4 vezes a segunda linha à terceira linha:
R3 = R3 + 4R2 Rightarrow ( ccc|c 1 & 2 & 1 & 0 0 & 1 & 1 & 0 0 & 0 & 0 & 0 )

Passo 6

Agora, a matriz está na forma escalonada. Podemos escrever as equações correspondentes:
x1 + 2x2 + x3 = 0 x2 + x3 = 0 0 = 0

Passo 7

Vamos resolver o sistema a partir das equações. Da segunda equação, temos:
x2 = -x3
Substituindo na primeira equação:
x1 + 2(-x3) + x3 = 0 Rightarrow x1 - x3 = 0 Rightarrow x1 = x3

Passo 8

Agora, temos as variáveis livres. Vamos deixar x3 = t , onde t é um parâmetro real. Então:
x1 = t, x2 = -t, x3 = t

Passo 9

Podemos escrever a solução geral do sistema como:
X = t 1 -1 1 , t in R
Isso significa que o espaço solução é uma reta no espaço tridimensional, gerada pelo vetor 1 -1 1 .

Resposta

O espaço solução é dado por todos os vetores X = t 1 -1 1 , onde t é um número real. Um conjunto de geradores para esse espaço é 1 -1 1 .

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