Questão 3. Considere a matriz
A=(cccc 1 & 0 & 2 & -10 0 & 1 & -3 & 8 0 & 0 & -1 & 4 0 & 0 & -1 & 3 )
Use eacalonamento de matrizes para encontrar a terceira coluna da inversa da matriz A.
a) (llll4 & 1 & 3 & -1)^t
b) (llll-2 & 1 & 3 & 1)^t
c) (llll4 & -4 & -4 & -1)^t
d) (llll4 & 1 & -4 & -1)^t
e) (llll-2 & -4 & -4 & -1)^t
f) (llll4 & 1 & 3 & 1)^t
g) (llll-2 & -4 & -4 & 1)^t
h) (llll-2 & -4 & 3 & 1)^t

Passo 1

O enunciado pede a terceira coluna de A^-1. Para uma matriz inversível A, a coluna j de A^-1 é o vetor x que satisfaz
A,x = ej,
onde ej é o vetor canônico com 1 na posição j e zeros nas demais. Aqui, vamos então resolver o sistema triangular
A,x = e3
por substituição reversa.

Passo 2

Seja x=(x1,x2,x3,x4)^t e
e3 = (0,0,1,0)^t
Multiplicando A por x obtemos o sistema
x1 + 2x3 - 10x4 = 0, x2 - 3x3 + 8x4 = 0, -,x3 + 4x4 = 1, -,x3 + 3x4 = 0

Passo 3

Das duas últimas equações,
-,x3 + 4x4 &= 1, -,x3 + 3x4 &= 0,
subtraindo a segunda da primeira vem
x4 = 1
Substituindo em -x3 + 3x4 = 0
-,x3 + 3cdot1 = 0 Longrightarrow x3 = 3

Passo 4

Agora use x3=3 e x4=1 nas duas primeiras equações:
x2 - 3cdot3 + 8cdot1 = 0 Longrightarrow x2 -9 +8 = 0 Longrightarrow x2 = 1,
x1 + 2cdot3 - 10cdot1 = 0 Longrightarrow x1 +6 -10 = 0 Longrightarrow x1 = 4

Resposta

(f) (llll4 & 1 & 3 & 1)^t

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