(a) Verifique que r1 e r2 são retas reversas;
(b) Calcule d(r1, r2), a distância entre r1 e r2;
(c) Determine a equação da reta r que interseta perpendicularmente as retas r1 e r2.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em R^3 em forma paramétrica:
O conteúdo é geometria analítica no espaço: (a) mostrar que são reversas (não paralelas e não se intersectam), (b) calcular a distância entre retas reversas usando produto vetorial, (c) achar a reta comum perpendicular a ambas.
Passo 2
Direções e não-interseção:
As direções são v1=(-1,1,-1) em r1 e v2=(-2,-3,1) em r2. Não há escalar lambda tal que v1=lambda v2, então não são paralelas.
Para ver que não se intersectam, igualamos pontos genéricos e tentamos achar s,t:
2-s = 3-2t, 1+s = 6-3t, 2-s = 1+t
Das duas primeiras vem
2-s=3-2timplies s= -1+2t, 1+s=6-3timplies s=5-3t
Igualando -1+2t = 5-3t dá 5t=6implies t=6/5 e s= -1+2cdot65=7/5. Mas na terceira equação
e a direção da reta comum é P0Q0=l(-tfrac819,tfrac1219,tfrac2019r)sim(-2,3,5).
Logo, uma equação paramétrica para a reta r é, tomando P0 e parâmetro lambda: