3 (4 pts.) Dadas as retas:
r1:l x=2-s y=1+s z=2-s e r2:l x=3-2 t y=6-3 t z=1+t s, t in R
(a) Verifique que r1 e r2 são retas reversas;
(b) Calcule d(r1, r2), a distância entre r1 e r2;
(c) Determine a equação da reta r que interseta perpendicularmente as retas r1 e r2.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3 em forma paramétrica:
r1: x=2-s y=1+s z=2-s , r2: x=3-2t y=6-3t z=1+t , s,tinR
O conteúdo é geometria analítica no espaço: (a) mostrar que são reversas (não paralelas e não se intersectam), (b) calcular a distância entre retas reversas usando produto vetorial, (c) achar a reta comum perpendicular a ambas.

Passo 2

Direções e não-interseção:
As direções são
v1=(-1,1,-1) em r1 e v2=(-2,-3,1) em r2. Não há escalar lambda tal que v1=lambda v2, então não são paralelas.
Para ver que não se intersectam, igualamos pontos genéricos e tentamos achar s,t:
2-s = 3-2t, 1+s = 6-3t, 2-s = 1+t
Das duas primeiras vem
2-s=3-2timplies s= -1+2t, 1+s=6-3timplies s=5-3t
Igualando -1+2t = 5-3t 5t=6implies t=6/5 e s= -1+2cdot65=7/5. Mas na terceira equação
2-s=1+timplies 2-tfrac75=1+tfrac65implies tfrac35=tfrac115,
que é absurdo. Logo não se intersectam e são retas reversas.

Passo 3

Distância entre retas reversas:
Sejam A=(2,1,2) em r1 e B=(3,6,1) em r2. Então AB=(1,5,-1) e
v1times v2 = i&j&k -1&1&-1 -2&-3&1 =(-2,,3,,5)
A fórmula é
d(r1,r2) =l|ABcdot(v1times v2)r||v1times v2| =l|1cdot(-2)+5cdot3+(-1)cdot5r|raiz(-2)^2+3^2+5^2 =8raiz38 =4raiz3819

Passo 4

Reta perpendicular simultaneamente a r1 e r2:
Procuramos pontos
P(s)=(2-s,,1+s,,2-s), Q(t)=(3-2t,,6-3t,,1+t)
tais que PQ seja ortogonal a v1 e a v2.
Escrevendo PQ=P-Q, impomos
PQcdot v1=0 e PQcdot v2=0. Isso leva ao sistema
3s+2t=5, s+7t=9,
cuja solução é
s=1719,;t=2219
Então
P0=l(tfrac2119,tfrac3619,tfrac2119r), Q0=l(tfrac1319,tfrac4819,tfrac4119r),
e a direção da reta comum é
P0Q0=l(-tfrac819,tfrac1219,tfrac2019r)sim(-2,3,5).
Logo, uma equação paramétrica para a reta r é, tomando P0 e parâmetro lambda:
r: x=tfrac2119-2lambda, y=tfrac3619+3lambda, z=tfrac2119+5lambda, lambdainR

Resposta

(a) As direções não são paralelas e o sistema de interseção é inconsistente, logo são retas reversas.
(b) d(r1,r2)=4raiz3819
(c)
r:; x=tfrac2119-2lambda, y=tfrac3619+3lambda, z=tfrac2119+5lambda, lambdainR

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