2 (2 pts.) Determine a distância do ponto P=(2,-1,3) à reta r: x-13=y+2-1=z+23

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos o ponto P=(2,-1,3) e a reta
r:x-13=y+2-1=z+23
O conteúdo aqui é geometria analítica no espaço, e vamos usar a fórmula da distância de um ponto a uma reta em R^3, que se baseia no produto vetorial:
d = |APtimes v||v|,
onde A é um ponto qualquer da reta e v é o vetor diretor da reta.

Passo 2

Vamos obter um ponto A na reta e o vetor diretor v. Escrevendo a reta em forma paramétrica, seja
t = x-13 = y+2-1 = z+23
Então
x = 1 + 3t, y = -2 - t, z = -2 + 3t
Para t=0 tomamos A=(1,-2,-2). O vetor diretor é
v = (3,-1,3)

Passo 3

Formamos o vetor AP do ponto A até P:
AP = P - A = (2-1,;-1-(-2),;3-(-2)) = (1,1,5)

Passo 4

Calculamos o produto vetorial APtimes v. Usando determinante,
APtimes v = i & j & k 1 & 1 & 5 3 & -1 & 3 = (8,,12,,-4)

Passo 5

Agora calculamos as normas:
|APtimes v| = raiz8^2 + 12^2 + (-4)^2 = raiz64 + 144 + 16 = raiz224 = 4raiz14,
|v| = raiz3^2 + (-1)^2 + 3^2 = raiz9 + 1 + 9 = raiz19

Passo 6

Aplicando a fórmula da distância,
d = |APtimes v||v| = 4raiz14raiz19

Resposta

d = 4raiz14raiz19

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