1(4, 0 pts.) dadas as retas r1:lx=3+s y=1+s z=4+2 s e r2:lx=-1+3 t y=1-t z=-1+2 t s, t in R.
(a) Verifique que r1 e r2 são retas reversas;
(b) calcule d(r1, r2), a distância entre r1 e r2;
(c) Determine as equações paramétricas da reta r que interseta perpendicularmente as retas r1 e r2.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
r1:;(x,y,z)=(3,1,4)+s,(1,1,2) e
r2:;(x,y,z)=(-1,1,-1)+t,(3,-1,2), com s,tinR.
O conteúdo é geometria analítica espacial: (a) mostrar que são reversas (skew), (b) calcular a distância entre elas e (c) achar a reta comum perpendicular a ambas.

Passo 2

(a) Direções e tentativa de interseção
As direções são
d1=(1,1,2) e d2=(3,-1,2).
Elas não são múltiplos escalares, logo as retas não são paralelas.
Para ver se se cruzam, igualamos coordenadas:
3+s = -1+3t, 1+s = 1-t, 4+2s = -1+2t
Da segunda vem s=-t. Substituindo na primeira dá t=1, s=-1, mas na terceira teríamos 4-2=2neq -1+2=1.
Não há solução conjunta, logo r1 e r2 são reversas.

Passo 3

(b) Distância entre retas reversas
Seja P=(3,1,4) e Q=(-1,1,-1). Então
PQ=Q-P=(-4,0,-5).
O vetor normal comum é
d1times d2 =det i&j&k 1&1&2 3&-1&2 =(4,4,-4),
com |!d1times d2|!=raiz4^2+4^2+(-4)^2=4raiz3.
A distância é
d(r1,r2) =l|PQcdot(d1times d2)r||d1times d2| =|(-4,0,-5)cdot(4,4,-4)|4raiz3 =|-16+0+20|4raiz3 =44raiz3 =1raiz3

Passo 4

(c) Reta comum perpendicular
Procuramos A=P+s,d1 em r1 e B=Q+t,d2 em r2 tais que BAperp d1 e perp d2.
Defina D=PQ=(-4,0,-5). Então
BA=P+s,d1-(Q+t,d2)=D+t,d2-s,d1.
As condições são
(D+t,d2-s,d1)cdot d1=0, (D+t,d2-s,d1)cdot d2=0
Calculando produtos escalar:
;Dcdot d1=-14,;d1cdot d1=6,;d1cdot d2=6,
;Dcdot d2=-22,;d2cdot d2=14
As equações viram
-14 + tcdot6 - scdot6 =0, -22 + tcdot14 - scdot6 =0,
isto é
3(t-s)=7, 7t-3s=11
Daí s=-tfrac43 e t=1.
Logo
A=P+s,d1=l(5/3,,-1/3,,4/3r), B=Q+t,d2=(2,0,1)
A reta comum r passa por A com direção AB=(1,1,-1).
Assim as equações paramétricas de r são
x=tfrac53+u, y=-tfrac13+u, z=tfrac43-u, uinR

Resposta

(a) As retas não são paralelas nem se intersectam, logo são reversas.
(b) d(r1,r2)=1raiz3
(c)
r:; x=tfrac53+u,; y=-tfrac13+u,; z=tfrac43-u,;uinR

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