pts.) dadas as retas e r2:lx=-1+3 t y=1-t z=-1+2 t s, t in R.
(a) Verifique que r1 e r2 são retas reversas;
(b) calcule d(r1, r2), a distância entre r1 e r2;
(c) Determine as equações paramétricas da reta r que interseta perpendicularmente as retas r1 e r2.
Passo 1
O enunciado dá duas retas em R^3: r1:;(x,y,z)=(3,1,4)+s,(1,1,2) e r2:;(x,y,z)=(-1,1,-1)+t,(3,-1,2), com s,tinR.
O conteúdo é geometria analítica espacial: (a) mostrar que são reversas (skew), (b) calcular a distância entre elas e (c) achar a reta comum perpendicular a ambas.
Passo 2
(a) Direções e tentativa de interseção
As direções são d1=(1,1,2) e d2=(3,-1,2).
Elas não são múltiplos escalares, logo as retas não são paralelas.
Para ver se se cruzam, igualamos coordenadas:
3+s = -1+3t, 1+s = 1-t, 4+2s = -1+2t
Da segunda vem s=-t. Substituindo na primeira dá t=1, s=-1, mas na terceira teríamos 4-2=2neq -1+2=1.
Não há solução conjunta, logo r1 e r2 são reversas.
Passo 3
(b) Distância entre retas reversas
Seja P=(3,1,4) e Q=(-1,1,-1). Então PQ=Q-P=(-4,0,-5).
O vetor normal comum é
d1times d2 =det i&j&k 1&1&2 3&-1&2 =(4,4,-4),
com |!d1times d2|!=raiz4^2+4^2+(-4)^2=4raiz3.
A distância é
(c) Reta comum perpendicular
Procuramos A=P+s,d1 em r1 e B=Q+t,d2 em r2 tais que BAperp d1 e perp d2.
Defina D=PQ=(-4,0,-5). Então BA=P+s,d1-(Q+t,d2)=D+t,d2-s,d1.
As condições são