2 ( 3 , 0 pts.) Determine a equação cartesiana do plano pi descrito nos casos abaixo.
pi : perpendicular ao vetor v=[2,-2,1] cuja distância ao ponto P=(3,2,-1) é 2 unidades;

Passo 1

O enunciado pede a equação cartesiana de um plano pi que é perpendicular ao vetor
v = [2,-2,1]
e cuja distância ao ponto P=(3,2,-1) é 2.
Conteúdo: equação geral de plano em R^3 e fórmula de distância de ponto a plano.

Passo 2

Como pi é perpendicular a v, este é um vetor normal ao plano. Logo a equação geral de pi é
2x - 2y + z + D = 0,
onde D é constante a determinar.

Passo 3

A distância de P=(3,2,-1) ao plano
2x - 2y + z + D = 0
é dada por
l|2cdot3 -2cdot2 +1cdot(-1) + Dr|raiz2^2 + (-2)^2 + 1^2 = l|6 -4 -1 + Dr|raiz4+4+1 = l|1 + Dr|3
e deve ser igual a 2. Assim
|1 + D|3 = 2 Longrightarrow |1 + D| = 6 Longrightarrow 1 + D = pm 6
resultando em D = 5 ou D = -7.

Resposta

pi1: 2x - 2y + z + 5 = 0
pi2: 2x - 2y + z - 7 = 0

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