3 ( 3, 0 pts.) dadas as retas r1:lx=-1-2 s y=5+4 s z=3+2 s e r2:lx=1+t y=3+t z=-7+t s, t in R.
(a) Verifique que r1 e r2 são retas reversas;
(b) Determine as equações paramétricas da reta r que interseta perpendicularmente as retas r1 e r2.

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3:
r1:x=-1-2s,;y=5+4s,;z=3+2s e
r2:x=1+t,;y=3+t,;z=-7+t.
Parte (a) pede mostrar que são retas reversas (isto é, não paralelas e sem ponto em comum) e parte (b) pede achar a reta r que intersecta ambas perpendicularmente.

Passo 2

Direções:
vec v1=(-2,,4,,2), vec v2=(1,,1,,1).
Como -2/1neq4/1neq2/1, não são paralelas.
Para checar interseção, igualamos
-1-2s = 1+t, 5+4s = 3+t, 3+2s = -7+t
Das duas primeiras obtém-se s=-tfrac23, t=-tfrac23, mas na terceira surge 5/3neq-23/3. Logo não há ponto comum: são reversas.

Passo 3

Para a reta perpendicular comum, tomamos pontos genéricos
P(s)=(-1-2s,;5+4s,;3+2s), Q(t)=(1+t,;3+t,;-7+t)
e
PQ=(2+t+2s,,-2+t-4s,,-10+t-2s).
Impondo perpendicularidade a ambas as direções:
vec v1cdotPQ=0, vec v2cdotPQ=0,
ou seja
-2(2+t+2s)+4(-2+t-4s)+2(-10+t-2s)=0,
(2+t+2s)+(-2+t-4s)+(-10+t-2s)=0

Passo 4

As equações acima simplificam-se para
t-6s=8, 3t-4s=10
Resolvendo, s=-1, t=2. Assim
P(-1)=(1,1,1) e Q(2)=(3,5,-5).

Passo 5

O vetor diretor de r é
PQ=(3-1,,5-1,,-5-1)=(2,4,-6), que simplifica para (1,2,-3).
Logo, uma forma paramétrica de r é
r: x=1+u, y=1+2u, z=1-3u, uinR

Resposta

boxedr:;x=1+u,;y=1+2u,;z=1-3u,;uinR

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