(1,5 pts.) Determine a(s) assíntota(s) horizontal(is) da função
f(x)=\frac{\sqrt[3]{27 x^{3}+4}}{4 x+5}

Passo 1

O enunciado pede as assíntotas horizontais de
f(x)=\frac{\sqrt[3]{27\,x^{3}+4}}{4\,x+5}.
Conteúdo: cálculo de limite da função quando x\to+\infty e x\to-\infty. A estratégia é reescrever o quociente de modo a isolar potências de x e usar \lim_{t\to0}(1+t)^{1/3}=1.

Passo 2

Calcular \displaystyle\lim_{x\to+\infty}f(x). Note que
\sqrt[3]{27\,x^3+4} = x\;\sqrt[3]{27+\frac{4}{x^3}}
e
4\,x+5 = x\Bigl(4+\frac{5}{x}\Bigr).
Logo,
f(x) =\frac{x\;\sqrt[3]{27+\frac{4}{x^3}}}{x\bigl(4+\frac{5}{x}\bigr)} =\frac{\sqrt[3]{27+\frac{4}{x^3}}}{4+\frac{5}{x}}.
Quando x\to+\infty, \tfrac{4}{x^3}\to0 e \tfrac{5}{x}\to0, então
\lim_{x\to+\infty}f(x) =\frac{\sqrt[3]{27}}{4} =\frac{3}{4}.

Passo 3

Calcular \displaystyle\lim_{x\to-\infty}f(x). Usamos a mesma expressão
f(x) =\frac{\sqrt[3]{27+\frac{4}{x^3}}}{4+\frac{5}{x}}.
Para x\to-\infty, novamente \tfrac{4}{x^3}\to0 e \tfrac{5}{x}\to0, logo
\lim_{x\to-\infty}f(x) =\frac{\sqrt[3]{27}}{4} =\frac{3}{4}.

Passo 4

Como ambos os limites em +\infty e -\infty valem \tfrac{3}{4}, a única assíntota horizontal é
y=\frac{3}{4}.

Resposta

A assíntota horizontal é y=\tfrac{3}{4}.

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