4^{\underline{\mathrm{a}}} Questão ( 25 pontos):
Calcule a massa e o centro de massa do tetraedro E delimitado pelos planos x=0, y=0, z=0 e x+y+z=1, de densidade de massa constante \delta(x, y, z)=1. Lembrando que \bar{x}=\iiint x \delta d V / M, \bar{y}=\iiint y \delta d V / M e \bar{z}=\iiint z \delta d V / M.

Passo 1

O enunciado pede a massa M e o centro de massa (\bar{x},\bar{y},\bar{z}) do tetraedro
E=\{(x,y,z)\mid x\ge0,\;y\ge0,\;z\ge0,\;x+y+z\le1\}
com densidade constante \delta(x,y,z)=1. Vamos usar integrais triplas em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Calcular a massa
M=\iiint_{E}1\,dV.
Escolhendo a ordem dz\,dy\,dx, temos
M=\int_{x=0}^{1}\int_{y=0}^{1-x}\int_{z=0}^{1-x-y}1\,dz\,dy\,dx.
Integrando em z:
\int_{0}^{1-x-y}1\,dz=1-x-y,
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M=\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}(1-x-y)\,dy\,dx.
Agora em y:
\int_{0}^{1-x}(1-x-y)\,dy =(1-x)(1-x)-\tfrac{(1-x)^2}{2} =\tfrac{(1-x)^2}{2},
então
M=\int_{0}^{1}\frac{(1-x)^2}{2}\,dx =\frac12\int_{0}^{1}(1-x)^2\,dx =\frac12\cdot\frac{1}{3} =\frac{1}{6}.

Passo 3

Calcular I_x=\iiint_{E}x\,dV para obter \bar{x}=I_x/M:
I_x =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}\int_{0}^{1-x-y}x\,dz\,dy\,dx =\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-x}x(1-x-y)\,dy\,dx.
Em y:
\int_{0}^{1-x}x(1-x-y)\,dy =x\Bigl[(1-x)(1-x)-\tfrac{(1-x)^2}{2}\Bigr] =\frac{x(1-x)^2}{2},
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I_x =\int_{0}^{1}\frac{x(1-x)^2}{2}\,dx =\frac12\int_{0}^{1}\bigl(x-2x^2+x^3\bigr)\,dx =\frac12\cdot\frac{1}{12} =\frac{1}{24}.
Portanto
\bar{x}=\frac{I_x}{M} =\frac{\tfrac{1}{24}}{\tfrac{1}{6}} =\frac{1}{4}.

Passo 4

Pelo simetria do tetraedro em x, y e z, temos
\bar{y}=\bar{x}=\frac{1}{4}, \quad \bar{z}=\bar{x}=\frac{1}{4}.

Resposta

Massa: M=\tfrac{1}{6}.
Centro de massa: \bigl(\bar{x},\bar{y},\bar{z}\bigr)=\bigl(\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4},\tfrac{1}{4}\bigr).

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