Questão ( 25 pontos):
Encontre o volume do sólido abaixo da superfície
, acima do plano
e delimitado no plano
pelas curvas
e
.
Encontre o volume do sólido abaixo da superfície
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo da superfície
acima do plano
e cujas projeção no plano
é a região limitada pelas curvas
O conteúdo aqui é cálculo de volume usando integrais triplas (ou duplas, pois a parte em
é simples).
Passo 2
Primero descrevemos a região
no plano
. Temos
Para achar os limites em
, igualamos as duas curvas:
Logo
varia de
a
e, para cada
,
varia de
até
.
Passo 3
Agora montamos a integral tripla para o volume:
Como o integrando é
, a integral em
dá simplesmente a altura
.
Passo 4
Após integrar em
, fica
Passo 5
Usando a simetria da função
, podemos calcular
Multiplicando pelo
que ficou fora, temos
Resposta
O volume do sólido é