3^{\underline{a}} Questão ( 25 pontos):
Encontre o volume do sólido abaixo da superfície z=\frac{1}{2}, acima do plano z=0 e delimitado no plano x y pelas curvas y=8-x^{2} e y=x^{2}.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que fica abaixo da superfície
z = \tfrac12,
acima do plano
z = 0
e cujas projeção no plano xy é a região limitada pelas curvas
y = x^2 \quad\text{e}\quad y = 8 - x^2.
O conteúdo aqui é cálculo de volume usando integrais triplas (ou duplas, pois a parte em z é simples).

Passo 2

Primero descrevemos a região R no plano xy. Temos
x^2 \le y \le 8 - x^2.
Para achar os limites em x, igualamos as duas curvas:
x^2 = 8 - x^2 \;\Longrightarrow\; 2x^2 = 8 \;\Longrightarrow\; x^2 = 4 \;\Longrightarrow\; x = \pm 2.
Logo x varia de -2 a 2 e, para cada x, y varia de x^2 até 8 - x^2.

Passo 3

Agora montamos a integral tripla para o volume:
V = \int_{x=-2}^{2} \int_{y=x^2}^{\,8 - x^2} \int_{z=0}^{\,\tfrac12} dz\,dy\,dx.
Como o integrando é 1, a integral em z dá simplesmente a altura \tfrac12.

Passo 4

Após integrar em z, fica
V = \int_{-2}^{2} \int_{x^2}^{\,8 - x^2} \tfrac12 \,dy\,dx = \tfrac12 \int_{-2}^{2} \bigl[(8 - x^2) - x^2\bigr] \,dx = \tfrac12 \int_{-2}^{2} (8 - 2x^2) \,dx.

Passo 5

Usando a simetria da função 8 - 2x^2, podemos calcular
\int_{-2}^{2} (8 - 2x^2)\,dx = 2 \int_{0}^{2} (8 - 2x^2)\,dx = 2\Bigl[\,8x - \tfrac{2}{3}x^3\Bigr]_{0}^{2} = 2\Bigl(16 - \tfrac{16}{3}\Bigr) = 2\cdot \tfrac{32}{3} = \tfrac{64}{3}.
Multiplicando pelo \tfrac12 que ficou fora, temos
V = \tfrac12 \cdot \tfrac{64}{3} = \tfrac{32}{3}.

Resposta

O volume do sólido é \displaystyle \tfrac{32}{3}.

Exercícios relacionados