Suponha que você esteja explorando uma colina cuja altura em relação ao nível do mar é modelada por:
onde
aponta para o leste e y para o norte, e todas as unidades estão em metros. Você está no ponto
.
(a) Se você caminhar exatamente para o oeste, começará a subir ou descer? A que taxa?
(b) Se você caminhar em direção ao sudoeste, começará a subir ou descer? A que taxa?
(c) Em que direção a inclinação é maior? Qual é essa taxa máxima de variação da altitude? Qual é o ângulo de inclinação dessa subida em relação à horizontal?
onde
(a) Se você caminhar exatamente para o oeste, começará a subir ou descer? A que taxa?
(b) Se você caminhar em direção ao sudoeste, começará a subir ou descer? A que taxa?
(c) Em que direção a inclinação é maior? Qual é essa taxa máxima de variação da altitude? Qual é o ângulo de inclinação dessa subida em relação à horizontal?
Passo 1
O enunciado dá a altitude da colina por
e pede a derivada direcional em direções específicas a partir de
, além da direção de maior variação. Para isso vamos usar o gradiente e a fórmula da derivada direcional
Passo 2
Calculamos o gradiente de
e avaliamos em
.
Passo 3
(a) Para caminhar a oeste, a direção unitária é
.
Como é positivo, você começa a subir à taxa de
metros de altitude para cada metro percorrido.
Passo 4
(b) Para caminhar a sudoeste, a direção unitária é
.
Como é positivo, você sobe à taxa de
metros por metro.
Passo 5
(c) A variação máxima ocorre na direção do gradiente
. Seu módulo é
O vetor unitário correspondente é
. O ângulo de inclinação em relação ao plano horizontal é
Resposta
(a) Você sobe à taxa de
m/m andando para o oeste.
(b) Você sobe à taxa de m/m andando para o sudoeste.
(c) A maior inclinação é na direção do vetor , com taxa máxima de variação
m/m e ângulo de inclinação
.
(b) Você sobe à taxa de
(c) A maior inclinação é na direção do vetor