Suponha que você esteja explorando uma colina cuja altura em relação ao nível do mar é modelada por: z(x, y)=800-0,01 x^{2}-0,02 y^{2}
onde x aponta para o leste e y para o norte, e todas as unidades estão em metros. Você está no ponto P=(40,30).
(a) Se você caminhar exatamente para o oeste, começará a subir ou descer? A que taxa?
(b) Se você caminhar em direção ao sudoeste, começará a subir ou descer? A que taxa?
(c) Em que direção a inclinação é maior? Qual é essa taxa máxima de variação da altitude? Qual é o ângulo de inclinação dessa subida em relação à horizontal?

Passo 1

O enunciado dá a altitude da colina por
z(x,y)=800-0,01x^{2}-0,02y^{2}
e pede a derivada direcional em direções específicas a partir de P=(40,30), além da direção de maior variação. Para isso vamos usar o gradiente e a fórmula da derivada direcional
D_{\mathbf u}z(P)=\nabla z(P)\cdot \mathbf u.

Passo 2

Calculamos o gradiente de z e avaliamos em P.
\nabla z(x,y)=\Bigl(\tfrac{\partial z}{\partial x},\tfrac{\partial z}{\partial y}\Bigr)=(-0,02x,\,-0,04y)
\nabla z(40,30)=(-0,02\cdot40,\,-0,04\cdot30)=(-0,8,\,-1,2).

Passo 3

(a) Para caminhar a oeste, a direção unitária é \mathbf u=(-1,0).
D_{\mathbf u}z(P)=\nabla z(40,30)\cdot(-1,0)=(-0,8,-1,2)\cdot(-1,0)=0,8.
Como é positivo, você começa a subir à taxa de 0,8 metros de altitude para cada metro percorrido.

Passo 4

(b) Para caminhar a sudoeste, a direção unitária é \mathbf u=\frac{(-1,-1)}{\sqrt2}.
D_{\mathbf u}z(P)=(-0,8,-1,2)\cdot\frac{(-1,-1)}{\sqrt2}=\frac{0,8+1,2}{\sqrt2}=\frac{2}{\sqrt2}=\sqrt2\approx1,414.
Como é positivo, você sobe à taxa de \sqrt2 metros por metro.

Passo 5

(c) A variação máxima ocorre na direção do gradiente \nabla z(40,30)=(-0,8,-1,2). Seu módulo é
\|\nabla z(40,30)\|=\sqrt{(-0,8)^{2}+(-1,2)^{2}}=\sqrt{0,64+1,44}=\sqrt{2,08}\approx1,442.
O vetor unitário correspondente é \displaystyle\frac{(-0,8,-1,2)}{\sqrt{2,08}}. O ângulo de inclinação em relação ao plano horizontal é
\theta=\arctan\bigl(\|\nabla z(40,30)\|\bigr)=\arctan(1,442)\approx55,2^\circ.

Resposta

(a) Você sobe à taxa de 0,8 m/m andando para o oeste.
(b) Você sobe à taxa de \sqrt2\approx1,414 m/m andando para o sudoeste.
(c) A maior inclinação é na direção do vetor \nabla z(40,30)=(-0,8,-1,2), com taxa máxima de variação \|\nabla z(40,30)\|\approx1,442 m/m e ângulo de inclinação \theta\approx55,2^\circ.

Exercícios relacionados