(3,0 pts) Determine e classifique os pontos críticos da função
f(x, y)=x^{3}+3 x y^{2}-3 x^{2}-3 y^{2}+4

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x,y)=x^{3}+3xy^{2}-3x^{2}-3y^{2}+4
e pede duas coisas:
  • Determinar os pontos críticos (ou seja, os pontos (x,y) onde o gradiente se anula).
  • Classificar cada ponto crítico (máximo local, mínimo local ou ponto de sela).
Todas as informações necessárias estão na expressão acima; a resolução segue a partir daqui.

Passo 2

Vamos calcular as derivadas parciais de f. Lembre que a derivada parcial em relação a x trata y como constante, e a derivada parcial em relação a y trata x como constante.
Derivando termo a termo:
\frac{\partial f}{\partial x}=3x^{2}+3y^{2}-6x,
\frac{\partial f}{\partial y}=6xy-6y=6y(x-1).
Pontos críticos são soluções do sistema
\frac{\partial f}{\partial x}=0,\qquad \frac{\partial f}{\partial y}=0.
Escrevendo o sistema:
3x^{2}+3y^{2}-6x=0, \qquad 6y(x-1)=0.

Passo 3

Simplifico a primeira equação dividindo por 3:
x^{2}+y^{2}-2x=0.
Reescrevendo completando quadrado:
(x-1)^{2}+y^{2}=1.
A segunda equação é
6y(x-1)=0 \quad\Longrightarrow\quad y=0 \text{ ou } x=1.
Resolveremos por casos.
Caso A: y=0. Substituindo em (x-1)^{2}+y^{2}=1 obtemos
(x-1)^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad x-1=\pm1.
Logo x=0 ou x=2. Assim obtemos os pontos críticos (0,0) e (2,0).
Caso B: x=1. Substituindo em (x-1)^{2}+y^{2}=1 obtemos
0 + y^{2}=1 \quad\Longrightarrow\quad y=\pm1.
Assim obtemos os pontos críticos (1,1) e (1,-1).
Portanto os pontos críticos são
(0,0),\quad (2,0),\quad (1,1),\quad (1,-1).

Passo 4

Para classificar pontos críticos usamos as segundas derivadas (matriz Hessiana). Calculo as segundas derivadas:
Derivadas já obtidas:
f_x=3x^{2}+3y^{2}-6x,\qquad f_y=6y(x-1).
Agora
f_{xx}=\frac{\partial}{\partial x}f_x=6x-6,
f_{xy}=\frac{\partial}{\partial y}f_x=6y,
f_{yy}=\frac{\partial}{\partial y}f_y=6(x-1)=6x-6.
A Hessiana é a matriz
H=\begin{pmatrix}f_{xx} & f_{xy}\\[4pt] f_{xy} & f_{yy}\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}6x-6 & 6y\\[4pt] 6y & 6x-6\end{pmatrix}.
O determinante da Hessiana vale
D = f_{xx}f_{yy}-(f_{xy})^{2}=(6x-6)^{2}-(6y)^{2}=36\bigl((x-1)^{2}-y^{2}\bigr).
Regra de classificação (teste das segundas derivadas, explicada de forma simples):
  • Se D>0 e f_{xx}>0 então há mínimo local.
  • Se D>0 e f_{xx}<0 então há máximo local.
  • Se D<0 então é ponto de sela.
  • Se D=0 o teste é inconclusivo (não ocorre aqui nos pontos encontrados).]

Passo 5

Avalio f_{xx}, f_{xy}, f_{yy} e D em cada ponto crítico e classifico.
  1. Ponto (0,0):
f_{xx}=6\cdot0-6=-6,\qquad f_{xy}=6\cdot0=0,\qquad f_{yy}=-6.
D=36\bigl((0-1)^{2}-0^{2}\bigr)=36\cdot1=36>0.
Como D>0 e f_{xx}=-6<0, (0,0) é um máximo local.
  1. Ponto (2,0):
f_{xx}=6\cdot2-6=6,\qquad f_{xy}=6\cdot0=0,\qquad f_{yy}=6.
D=36\bigl((2-1)^{2}-0^{2}\bigr)=36\cdot1=36>0.
Como D>0 e f_{xx}=6>0, (2,0) é um mínimo local.
  1. Ponto (1,1):
f_{xx}=6\cdot1-6=0,\qquad f_{xy}=6\cdot1=6,\qquad f_{yy}=0.
D=36\bigl((1-1)^{2}-1^{2}\bigr)=36\cdot(-1)=-36<0.
Como D<0, (1,1) é ponto de sela.
  1. Ponto (1,-1):
f_{xx}=0,\qquad f_{xy}=6\cdot(-1)=-6,\qquad f_{yy}=0.
D=36\bigl((1-1)^{2}-(-1)^{2}\bigr)=36\cdot(-1)=-36<0.
Como D<0, (1,-1) é ponto de sela.

Passo 6

Para intuição rápida, aqui estão os valores da função nos pontos (não são necessários para a classificação, mas ajudam a ver a paisagem):
f(0,0)=4,\qquad f(2,0)=0,\qquad f(1,1)=2,\qquad f(1,-1)=2.
Note que em (0,0) a função tem valor maior que em pontos próximos (máx local) e em (2,0) tem valor menor (mín local); os pontos (1,\pm1) têm comportamento de sela.

Resposta

(0,0) — máximo local
(2,0) — mínimo local
(1,1) — ponto de sela
(1,-1) — ponto de sela

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