(3,0 pts) Determine e classifique os pontos críticos da função
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede duas coisas:
- Determinar os pontos críticos (ou seja, os pontos
onde o gradiente se anula). - Classificar cada ponto crítico (máximo local, mínimo local ou ponto de sela).
Todas as informações necessárias estão na expressão acima; a resolução segue a partir daqui.
Passo 2
Vamos calcular as derivadas parciais de
. Lembre que a derivada parcial em relação a
trata
como constante, e a derivada parcial em relação a
trata
como constante.
Derivando termo a termo:
Pontos críticos são soluções do sistema
Escrevendo o sistema:
Passo 3
Simplifico a primeira equação dividindo por
:
Reescrevendo completando quadrado:
A segunda equação é
Resolveremos por casos.
Caso A:
. Substituindo em
obtemos
Logo
ou
. Assim obtemos os pontos críticos
e
.
Caso B:
. Substituindo em
obtemos
Assim obtemos os pontos críticos
e
.
Portanto os pontos críticos são
Passo 4
Para classificar pontos críticos usamos as segundas derivadas (matriz Hessiana). Calculo as segundas derivadas:
Derivadas já obtidas:
Agora
A Hessiana é a matriz
O determinante da Hessiana vale
Regra de classificação (teste das segundas derivadas, explicada de forma simples):
- Se
e então há mínimo local. - Se
e então há máximo local. - Se
então é ponto de sela. - Se
o teste é inconclusivo (não ocorre aqui nos pontos encontrados).]
Passo 5
Avalio
,
,
e
em cada ponto crítico e classifico.
- Ponto
:
Como
e
,
é um máximo local.
- Ponto
:
Como
e
,
é um mínimo local.
- Ponto
:
Como
,
é ponto de sela.
- Ponto
:
Como
,
é ponto de sela.
Passo 6
Para intuição rápida, aqui estão os valores da função nos pontos (não são necessários para a classificação, mas ajudam a ver a paisagem):
Note que em
a função tem valor maior que em pontos próximos (máx local) e em
tem valor menor (mín local); os pontos
têm comportamento de sela.