5 (2,0 pts.) Determine a distância do ponto P à reta r, onde:
P=(-2,1,-1) r: x-12=y+3-1=z-4-3

Passo 1

O enunciado pede a distância de um ponto P a uma reta r no espaço. Esse é um problema de geometria analítica em R^3. Para resolver, vamos usar a fórmula que diz que, se P0 é um ponto qualquer da reta e v é o vetor diretor dela, então
d = |P0Ptimes v||v|
Aqui P0P é o vetor que vai de P0 até P.

Passo 2

A reta está dada em forma simétrica
x-12 ;=;y+3-1;=;z-4-3
Isso significa que um ponto da reta é
P0 = (1,-3,4)
e o vetor diretor é
v = (2,-1,-3)

Passo 3

O vetor que liga P0 a P(-2,1,-1) é
P0P = P - P0 = (-2-1,;1-(-3),;-1-4) = (-3,,4,,-5)

Passo 4

Agora computamos o produto vetorial
P0Ptimes v = i & j & k -3 & 4 & -5 2 & -1 & -3 = (-17,,-19,,-5)

Passo 5

Calculamos as normas:
|P0Ptimes v| = raiz(-17)^2+(-19)^2+(-5)^2 = raiz289+361+25 = raiz675 =15raiz3
e
|v| = raiz2^2+(-1)^2+(-3)^2 = raiz14
Aplicando a fórmula,
d = 15raiz3raiz14 = 15raiz4214

Resposta

d = 15raiz3raiz14 l(=tfrac15raiz4214r)

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